2013　西南学院大学　神,経済学部Ａ日程MathJax

【１】

1　以下の問に答えよ．

(1)　不等式$x^2-2x-30<0$を満たす整数$x$は，全部で$\boxed{\text{アイ}}$個ある．

【１】

1　以下の問に答えよ．

(2)　有理数$m$と$n$について，$(2\sqrt{2}+3)m+(5\sqrt{2}-1)n={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}-2}}$が成立するとき，$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカキ}}}}\text{，}n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{オカキ}}}}$である．

【１】

1　以下の問に答えよ．

(3)　$2$乗して$7+24i$となる複素数は，$\pm (\boxed{\text{ケ}}+\boxed{\text{コ}}i)$である．

【１】

2　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{AC}=2\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線に下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，

$\mathrm{AH}=\sqrt{\boxed{\text{サ}}}\text{，}$

$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{シスセ}}\mathrm{°}$

である．

　さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，

${\mathrm{AD}}^2=\boxed{\text{ソタ}}+\boxed{\text{チツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

である．

【２】

1　赤玉$5$個，白玉$7$個の合計$12$個の玉が入っている袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき，以下の問に答えよ．

(1)　赤玉が$3$個以上取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナニ}}}}$である．

(2)　白玉が$2$個以上取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノハ}}}}$である．

(3)　この袋に，さらに青玉を$3$個入れて合計$15$個にする．この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個は赤玉か青玉である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒフ}}}{\boxed{\text{ヘホ}}}}$である．

【２】

2　$x$の関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{8}^x-3\cdot 4^x+2^{x+3}+a$が極大値${\displaystyle \frac{22}{3}}$をとるとき，定数$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$であり，そのとき$g(x)$は$x=\boxed{\text{ム}}$で極小値$\boxed{\text{メ}}$をとる．

【３】　直線$y=x$と放物線$C:y=x^2-x$で囲まれる領域の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)　直線$y=ax$（ただし$a>-1$）と$C$で囲まれる領域の面積が${\displaystyle \frac{S}{2}}$となるとき，$a$の値を求めよ．

(2)　直線$y=ax$（ただし$a>-1$）と$C$で囲まれる領域の面積を${\displaystyle \frac{S}{k}}$とする．$a$が負となるような最小の自然数$k$を求めよ．

(3)　原点を通る$9$本の直線が$S$を$10$等分するとき，それらの直線の傾きを大きい方から$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_9$とする．このとき，$a_7$を求めよ．