2013　西南学院大学　人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が$x=3$を解にもつとき，$x^3+a{x}^2+bx+c=(x-3)\{x^2+(a+\boxed{\text{ア}})x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}c\}$である．

【１】

1　以下の問に答えよ．

(2)　$(a+3b):(b+3c):(c+3a)=1:2:3$であるとき，$a:b:c=\boxed{\text{エオ}}:\boxed{\text{カ}}:9$である．

【１】

1　以下の問に答えよ．

(3)　$3$次方程式$2x^3-6x^2+7x-6=0$の$3$つの解をそれぞれ$2$乗したものの和は，$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

2　$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$があり，最初は原点にあるとする．$1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出たら点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ進め，その他の目が出たら負の方向に$1$だけ進めるものとする．以下の問に答えよ．

(1)　さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサシ}}}}$である．

(2)　さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{コサシ}}}}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．

(3)　さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．

【２】

1　以下の問に答えよ．

(1)　方程式${\log }_2(x+2)-{\log }_{4}x={\displaystyle \frac{3}{2}}$の解は，$x=\boxed{\text{テ}}$である．

【２】

1　以下の問に答えよ．

(2)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}{\log }_7{(x+y)}^x=4(x-y)\\ {\log }_7{(x+y)}^y=3(x-y)\end{array}$

の解は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$または，$x=\boxed{\text{ネ}}\text{，}y=\boxed{\text{ノ}}$である．

【２】

2　単位円上の点$\mathrm{P}(x,y)$を考える．動径$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta \text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$）とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\theta =135\mathrm{°}$のとき

$\mathrm{P}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}})$

である．

(2)　$4y+3x$が最小となるとき，その値は$\boxed{\text{ホマ}}$であり，

$\mathrm{P}(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}})$

である．

【３】　関数$f(x)$を$f(x)=-x^3-3x^2+a$とし，$y=f(x)$で表されるグラフを$C$とする．$C$が極小となる点で$x$軸と接するとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$l$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x\geqq 0$の部分の面積と$x\leqq 0$の部分の面積を求めよ．