2014　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}}$とおく．

(1)　

$ab=\boxed{\text{ア}}$

$a+b=\boxed{\text{イ}}(\boxed{\text{ウエ}}+\sqrt{\boxed{\text{オ}}})$

$a^2+b^2=\boxed{\text{カ}}(\boxed{\text{キ}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}})$

である．

(2)　$ab=\boxed{\text{ア}}$と$a^2+b^2+4(a+b)=\boxed{\text{ケコ}}$から，$a$は

$a^4+\boxed{\text{サ}}{a}^3-\boxed{\text{シス}}{a}^2+\boxed{\text{セ}}a+\boxed{\text{ソ}}=0$

を満たすことがわかる．

【１】

［２］　下の$\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\boxed{\text{テ}}\text{，}$$\boxed{\text{ネ}}\text{，}$$\boxed{\text{ノ}}\text{，}$$\boxed{\text{ヒ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$

　$a$を定数とし，連立不等式

$\{\begin{array}{ll}x-6a\geqq -1& \cdots \text{①}\\ |x+a-1|<5& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．

(1)　$x=1$が不等式$\text{①}$を満たすような$a$の値の範囲を表す不等式は$a\boxed{\text{タ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(2)　$x=2$が不等式$\text{①}$を満たさないような$a$の値の範囲を表す不等式は$a\boxed{\text{テ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(3)　$a=0$のとき，連立不等式$\text{①，②}$の解は

$\boxed{\text{ニヌ}}\boxed{\text{ネ}}x\boxed{\text{ノ}}\boxed{\text{ハ}}$

である．

(4)　不等式$\text{②}$の解と，連立不等式$\text{①，②}$の解とが一致するような$a$の値の範囲を表す不等式は$a\boxed{\text{ヒ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【２】　$a$を定数とし，$x$の$2$次関数

$y=x^2+2ax+3a^2-6a-36$$\cdots \text{①}$

のグラフを$G$とする．$G$の頂点の座標は

$(\boxed{\text{ア}}a,\boxed{\text{イ}}{a}^2-\boxed{\text{ウ}}a-\boxed{\text{エオ}})$

である．$G$と$y$軸との交点の$y$座標を$p$とする．

(1)　$p=-27$のとき，$a$の値は$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キク}}$である．$a=\boxed{\text{カ}}$のときの$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ケ}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{コ}}$だけ平行移動すると，$a=\boxed{\text{キク}}$のときの$\text{①}$のグラフに一致する．

(2)　下の$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}\text{，}$$\boxed{\text{ノ}}\text{，}$$\boxed{\text{ハ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$>$
• $\overline{)\text{1}}$　$<$
• $\overline{)\text{2}}$　$\geqq$
• $\overline{)\text{3}}$　$\leqq$

　$G$が$x$軸と共有点を持つような$a$の値の範囲を表す不等式は

$\boxed{\text{サシ}}\boxed{\text{ス}}a\boxed{\text{セ}}\boxed{\text{ソ}}$$\cdots \text{②}$

である．$a$が$\text{②}$の範囲にあるとき，$p$は，$a=\boxed{\text{タ}}$で最小値$\boxed{\text{チツテ}}$をとり，$a=\boxed{\text{ト}}$で最大値$\boxed{\text{ナニ}}$をとる．

　$G$が$x$軸と共有点を持ち，さらにそのすべての共有点の$x$座標が$-1$より大きくなるような$a$の値の範囲を表す不等式は

$\boxed{\text{ヌネ}}\boxed{\text{ノ}}a\boxed{\text{ハ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒフ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たすとする．このとき

$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

　$▵\mathrm{ABC}$の外接円と$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線との交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$▵\mathrm{ACE}$の内角$\angle \mathrm{CAE}$と外角$\angle \mathrm{ACB}$の間には$\angle \mathrm{CAE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\angle \mathrm{ACB}$の関係があるので，$\mathrm{CE}=\boxed{\text{シ}}$である．したがって，$\mathrm{AE}=\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}$である．

　$▵\mathrm{ACE}$と$▵\mathrm{ADC}$を比較することにより，$▵\mathrm{ACE}$の面積は$\angle \mathrm{ADC}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$倍であることと，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$であることがわかる．

　以上から，$▵\mathrm{ADC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【４】　絶対値を含んだ不等式

$2|x^2+2x-3|-3|x-1|>2x+3$$\cdots \text{①}$

を満たす$x$の値の範囲を求める．

　$2$次方程式$x^2+2x-3=0$の解は$x=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$であるから，調べる$x$の値の範囲を

$x<\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$\boxed{\text{アイ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}<x$

の三つの場合に分ける．

　以上の場合を合わせて考えると，不等式$\text{①}$を満たす整数$x$は無限に多くあるが，不等式$\text{①}$を満たさない整数$x$の個数は$\boxed{\text{セ}}$個であることがわかる．

【１】

〔２〕　集合$\mathrm{U}$を$\mathrm{U}=\{n|n\text{は}5<\sqrt{n}<6\text{を満たす自然数}\}$で定め，また，$\mathrm{U}$の部分集合$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を次のように定める．

$\mathrm{P}=\{n|n\in \mathrm{U}\text{かつ}n\text{は}4\text{の倍数}\}$

$\mathrm{Q}=\{n|n\in \mathrm{U}\text{かつ}n\text{は}4\text{の倍数}\}$

$\mathrm{R}=\{n|n\in \mathrm{U}\text{かつ}n\text{は}6\text{の倍数}\}$

$\mathrm{S}=\{n|n\in \mathrm{U}\text{かつ}n\text{は}7\text{の倍数}\}$

　全体集合を$\mathrm{U}$とする．集合$\mathrm{P}$の補集合を$\bar{\mathrm{P}}$で表し，同様に$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の補集合をそれぞれ$\bar{\mathrm{Q}}\text{，}$$\bar{\mathrm{R}}\text{，}$$\bar{\mathrm{S}}$で表す．

(1)　$\mathrm{U}$の要素の個数は$\boxed{\text{タチ}}$個である．

(2)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$で与えられた集合のうち，空集合であるものは$\boxed{\text{ツ}}\text{，}\boxed{\text{テ}}$である．

　$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$\boxed{\text{テ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，$\boxed{\text{ツ}}\text{，}\boxed{\text{テ}}$の解答の順序は問わない．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{P}\cap \mathrm{R}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{P}\cap \mathrm{S}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{Q}\cap \mathrm{R}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{P}\cap \bar{\mathrm{Q}}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{R}\cap \bar{\mathrm{Q}}$

(3)　集合$\mathrm{X}$が集合$\mathrm{Y}$の部分集合であるとき，$\mathrm{X}\subset \mathrm{Y}$と表す．このとき，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち，部分集合の関係について成り立つものは$\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$である．

　$\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，$\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\boxed{\text{ナ}}$の解答の順序は問わない．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{P}\cup \mathrm{R}\subset \bar{\mathrm{Q}}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{S}\cup \bar{\mathrm{Q}}\subset \mathrm{P}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\bar{\mathrm{Q}}\cap \bar{\mathrm{S}}\subset \bar{\mathrm{P}}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\bar{\mathrm{P}}\cup \bar{\mathrm{Q}}\subset \bar{\mathrm{S}}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\bar{\mathrm{R}}\cap \bar{\mathrm{S}}\subset \bar{\mathrm{Q}}$

【３】　$▵\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たすとする．このとき

$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線の交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{BD}$と円$O$との交点で$\mathrm{B}$と異なる交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　このとき

$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}$$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}$$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

となる．

(2)　$▵\mathrm{EBC}$の面積は$▵\mathrm{EAF}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$倍である．

(3)　角度に注目すると，線分$\mathrm{EA}\text{，}$$\mathrm{FC}\text{，}$$\mathrm{FD}$の関係で正しいものは$\boxed{\text{ネ}}$であることが分かる．

　$\boxed{\text{ネ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{FA}<\mathrm{FC}=\mathrm{FD}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{FA}=\mathrm{FC}<\mathrm{FD}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{FC}<\mathrm{FA}=\mathrm{FD}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{FD}<\mathrm{FC}<\mathrm{FA}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{FA}=\mathrm{FC}=\mathrm{FD}$
• $\overline{)\text{5}}$　$\mathrm{FD}<\mathrm{FC}=\mathrm{FA}$

【４】　右の図は，ある町の街路図の一部である．

　ある人が，交差点$\mathrm{A}$から出発し，次の規則に従って，交差点から隣の交差点への移動を繰り返す．

$\text{①}$　街路上のみを移動する．

$\text{②}$　出発前にサイコロを投げ，出た目に応じて右図の$1\text{〜}6$の矢印の方向の隣の交差点に移動する．

$\text{③}$　交差点に達したら，再びサイコロを投げ，出た目に応じて図の$1\text{〜}$$6$の矢印の方向の隣の交差点に移動する．（一度通った道を引き返すこともできる．）

$\text{④}$　交差点に達するたびに，$\text{③}$と同じことを繰り返す．

(1)　交差点$\mathrm{A}$を出発し，$4$回移動して交差点$\mathrm{B}$にいる移動の仕方について考える．この場合，$3$の矢印の方向の移動と$4$の矢印の方向の移動をそれぞれ$2$回ずつ行うので，このような移動の仕方は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

(2)　交差点$\mathrm{A}$を出発し，$3$回移動して交差点$\mathrm{C}$にいる移動の仕方は$\boxed{\text{イ}}$通りある．

(3)　交差点$\mathrm{A}$を出発し，$6$回移動することを考える．このとき，交差点$\mathrm{A}$を出発し，$3$回の移動が終わった時点で交差点$\mathrm{C}$にいて，次に$3$回移動して交差点$\mathrm{D}$にいる移動の仕方は$\boxed{\text{ウエ}}$通りあり，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキクケ}}}}$である．

(4)　交差点$\mathrm{A}$を出発し，$6$回移動して交差点$\mathrm{D}$にいる移動の仕方について考える．

・　$1$の矢印の向きの移動を含むものは$\boxed{\text{コ}}$通りある．

・　$2$の矢印の向きの移動を含むものは$\boxed{\text{サシ}}$通りある．

・　$6$の矢印の向きの移動を含むものも$\boxed{\text{サシ}}$通りある．

・　上記$3$つ以外の場合，$4$の矢印の向きの移動は$\boxed{\text{ス}}$回だけに決まるので，移動の仕方は$\boxed{\text{セソ}}$通りある．

　よって，交差点$\mathrm{A}$を出発し，$6$回移動して交差点$\mathrm{D}$にいる移動の仕方は$\boxed{\text{タチツ}}$通りある．