2014 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IAMathJax

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2014 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a= 1+3 1+2 b= 1- 31- 2 とおく.

(1) 

ab=

a+b= ( ウエ + )

a2 +b2 = ( - )

である.

(2)  ab= a 2+b 2+4 (a +b) = ケコ から, a

a4 + a 3- シス a2 + a+ =0

を満たすことがわかる.

2014 大学入試センター試験 本試

数学I

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 下の には,次の 0 3 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

  a を定数とし,連立不等式

{ x-6 a- 1 | x+a-1 |<5

を考える.

(1)  x=1 が不等式 を満たすような a の値の範囲を表す不等式は a である.

(2)  x=2 が不等式 を満たさないような a の値の範囲を表す不等式は a である.

(3)  a=0 のとき,連立不等式 ①,② の解は

ニヌ x

である.

(4) 不等式 の解と,連立不等式 ①,② の解とが一致するような a の値の範囲を表す不等式は a フヘ である.

2014 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  a を定数とし, x 2 次関数

y=x 2+2 ax +3 a2- 6a- 36

のグラフを G とする. G の頂点の座標は

( a, a 2- a- エオ )

である. G y 軸との交点の y 座標を p とする.

(1)  p=-27 のとき, a の値は a = キク である. a= のときの のグラフを x 軸方向に y 軸方向に だけ平行移動すると, a= キク のときの のグラフに一致する.

(2) 下の には,次の 0 3 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

  G x 軸と共有点を持つような a の値の範囲を表す不等式は

サシ a

である. a の範囲にあるとき, p は, a= で最小値 チツテ をとり, a= で最大値 ナニ をとる.

  G x 軸と共有点を持ち,さらにそのすべての共有点の x 座標が -1 より大きくなるような a の値の範囲を表す不等式は

ヌネ a ヒフ

である.

2014 大学入試センター試験 本試

数学I

数学IA【3】の類題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC は, AB=4 BC=2 cos ABC= 1 4 を満たすとする.このとき

CA= sin ABC= イウ

であり, ABC の外接円の半径は カキ クケ である.

  ABC の外接円と ABC の二等分線との交点で B と異なる点を D とし,直線 AD と直線 BC の交点を E とする.このとき, ACE の内角 CAE と外角 ACB の間には CAE = ACB の関係があるので, CE= である.したがって, AE= セソ である.

  ACE ADC を比較することにより, ACE の面積は ADC の面積の 倍であることと, AD= テト であることがわかる.

 以上から, ADC の面積は ヌネ である.

2014 大学入試センター試験 本試

数学I

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 絶対値を含んだ不等式

2| x2+ 2x- 3|- 3| x-1| >2x +3

を満たす x の値の範囲を求める.

  2 次方程式 x2+2 x-3 =0 の解は x = アイ であるから,調べる x の値の範囲を

x< アイ アイ x <x

の三つの場合に分ける.

・  x< アイ の場合

 絶対値記号をはずして整理すると,不等式

2x 2+ x- オカ >0

となるから,求める x の値の範囲は x < キク である.

・  アイ x の場合

  を満たす x の値の範囲は ケコ <x< である.

・  の場合

  を満たす x の値の範囲は <x である.

 以上の場合を合わせて考えると,不等式 を満たす整数 x は無限に多くあるが,不等式 を満たさない整数 x の個数は 個であることがわかる.

2014 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点10点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 集合 U U= {n |n 5<n <6 を満たす自然数 } で定め,また, U の部分集合 P Q R S を次のように定める.

P= {n |n U かつ n 4 の倍数}

Q= {n |n U かつ n 4 の倍数}

R= {n | nU かつ n 6 の倍数}

S= {n | nU かつ n 7 の倍数}

 全体集合を U とする.集合 P の補集合を P で表し,同様に Q R S の補集合をそれぞれ Q R S で表す.

(1)  U の要素の個数は タチ 個である.

(2) 次の 0 4 で与えられた集合のうち,空集合であるものは である.

  に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし, の解答の順序は問わない.

(3) 集合 X が集合 Y の部分集合であるとき, X Y と表す.このとき,次の 0 4 のうち,部分集合の関係について成り立つものは である.

  に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つずつ選べ.ただし, の解答の順序は問わない.



2014 大学入試センター試験 本試

数学IA

数学I【3】の類題

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC は, AB=4 BC=2 cos ABC= 14 を満たすとする.このとき

CA= cos BAC= sin BAC= エオ

であり, ABC の外接円 O の半径は クケ コサ である. ABC の二等分線と BAC の二等分線の交点を D 直線 BD と辺 AC の交点を E 直線 BD と円 O との交点で B と異なる交点を F とする.

(1) このとき

AE= BE= ソタ BD= テト

となる.

(2)  EBC の面積は EAF の面積の 倍である.

(3) 角度に注目すると,線分 EA FC FD の関係で正しいものは であることが分かる.

  に当てはまるものを,次の 0 5 のうちから一つ選べ.



2014 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

2014年センター試験本試験数学I・IA【4】の図

【4】 右の図は,ある町の街路図の一部である.

 ある人が,交差点 A から出発し,次の規則に従って,交差点から隣の交差点への移動を繰り返す.

 街路上のみを移動する.

 出発前にサイコロを投げ,出た目に応じて右図の 1 6 の矢印の方向の隣の交差点に移動する.

 交差点に達したら,再びサイコロを投げ,出た目に応じて図の 1 6 の矢印の方向の隣の交差点に移動する.(一度通った道を引き返すこともできる.)

 交差点に達するたびに, と同じことを繰り返す.

(1) 交差点 A を出発し, 4 回移動して交差点 B にいる移動の仕方について考える.この場合, 3 の矢印の方向の移動と 4 の矢印の方向の移動をそれぞれ 2 回ずつ行うので,このような移動の仕方は 通りである.

(2) 交差点 A を出発し, 3 回移動して交差点 C にいる移動の仕方は 通りある.

(3) 交差点 A を出発し, 6 回移動することを考える.このとき,交差点 A を出発し, 3 回の移動が終わった時点で交差点 C にいて,次に 3 回移動して交差点 D にいる移動の仕方は ウエ 通りあり,その確率は カキクケ である.

(4) 交差点 A を出発し, 6 回移動して交差点 D にいる移動の仕方について考える.

・  1 の矢印の向きの移動を含むものは 通りある.

・  2 の矢印の向きの移動を含むものは サシ 通りある.

・  6 の矢印の向きの移動を含むものも サシ 通りある.

・ 上記 3 つ以外の場合, 4 の矢印の向きの移動は 回だけに決まるので,移動の仕方は セソ 通りある.

 よって,交差点 A を出発し, 6 回移動して交差点 D にいる移動の仕方は タチツ 通りある.

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