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2014-10007-0101
2014 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b , c を定数とし, a≠0 とする.関数 f ⁡(x ), g⁡( x) をそれぞれ
f⁡( x)= a⁢x2 +b⁢ x+c ,g⁡ (x) =f′⁡ (x)
と定め,放物線 y =f⁡( x) および直線 y =g⁡( x) をそれぞれ C , L とする. C の軸は x =1 であり, C と L はともに点 ( 2,2 ) を通る.
(1) a ,b , c の値を求めよ.
(2) C を y 軸方向に d だけ平行移動させた曲線を D とする. D は L と 2 点で交わり,その 2 点間の距離は 4 ⁢5 である.この 2 点の座標,および d の値を求めよ.
(3) L と D で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2014-10007-0102
【2】 a を定数とし, e を自然対数の底とする.曲線 y =x⁢e -x2 および直線 y =a⁢x をそれぞれ C , L とする. C と L は原点 ( 0,0 ) 以外に交点をもつ.
(1) a の値の範囲を求めよ.また, C と L の交点でその x 座標が正であるものを a を用いて表せ.
(2) x≧0 において C と L で囲まれた部分の面積を S ⁡(a ) とするとき, S⁡( a) を求めよ.
(3) S⁡( a)< 12 であることを示せ.
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【3】 数列 { an } は
a1 =0 ,a 2=4 , an +2= 5⁢a n+1 -6⁢ an+ 3n ( n= 1, 2 ,3 , ⋯ )
を満たすとする.さらに, bn =an +1- 3⁢an とおく.
(1) cn= bn- 3n とおくとき, cn+ 1 を c n を用いて表せ.また,数列 { cn } および数列 { bn } の一般項を求めよ.
(2) dn = an3 n-1 とおくとき, dn+ 1 を d n を用いて表せ.また,数列 { dn } および数列 { an } の一般項を求めよ.
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【4】 平面上に 3 点 O , A , B があり, |OA →| =5 , | OB→ |=1 , かつ OA→⋅ OB→ =1 を満たすとする.ここで, OA→ ⋅OB→ は OA → と OB → の内積を表す.また, s を実数とし,点 P , Q を OP→= (1- s2) ⁢OA→ , OQ→ =(1 -s)⁢ OB→ で定める.
(1) 線分 AB の中点を M とするとき, MP→ , MQ→ をそれぞれ OA→ , OB→ , および s を用いて表せ.
(2) MP→ ⊥MQ → となる s の値をすべて求めよ.
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【5】 行列 A =( ab cd ) の表す 1 次変換 f は,原点 ( 0,0 ) 以外のある点を原点に移す.
(1) a⁢d- b⁢c の値を求めよ.
(2) a+d= 1 のとき, A2014 -A を求めよ.