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2014 室蘭工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  a b c を定数とし, a0 とする.関数 f (x ) g( x) をそれぞれ

f( x)= ax2 +b x+c g (x) =f (x)

と定め,放物線 y =f( x) および直線 y =g( x) をそれぞれ C L とする. C の軸は x =1 であり, C L はともに点 ( 2,2 ) を通る.

(1)  a b c の値を求めよ.

(2)  C y 軸方向に d だけ平行移動させた曲線を D とする. D L 2 点で交わり,その 2 点間の距離は 4 5 である.この 2 点の座標,および d の値を求めよ.

(3)  L D で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

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【2】  a を定数とし, e を自然対数の底とする.曲線 y =xe -x2 および直線 y =ax をそれぞれ C L とする. C L は原点 ( 0,0 ) 以外に交点をもつ.

(1)  a の値の範囲を求めよ.また, C L の交点でその x 座標が正であるものを a を用いて表せ.

(2)  x0 において C L で囲まれた部分の面積を S (a ) とするとき, S( a) を求めよ.

(3)  S( a)< 12 であることを示せ.

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【3】 数列 { an }

a1 =0 a 2=4 an +2= 5a n+1 -6 an+ 3n n= 1 2 3

を満たすとする.さらに, bn =an +1- 3an とおく.

(1)  cn= bn- 3n とおくとき, cn+ 1 c n を用いて表せ.また,数列 { cn } および数列 { bn } の一般項を求めよ.

(2)  dn = an3 n-1 とおくとき, dn+ 1 d n を用いて表せ.また,数列 { dn } および数列 { an } の一般項を求めよ.

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【4】 平面上に 3 O A B があり, |OA | =5 | OB |=1 かつ OA OB =1 を満たすとする.ここで, OA OB OA OB の内積を表す.また, s を実数とし,点 P Q OP= (1- s2) OA OQ =(1 -s) OB で定める.

(1) 線分 AB の中点を M とするとき, MP MQ をそれぞれ OA OB および s を用いて表せ.

(2)  MP MQ となる s の値をすべて求めよ.

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【5】 行列 A =( ab cd ) の表す 1 次変換 f は,原点 ( 0,0 ) 以外のある点を原点に移す.

(1)  ad- bc の値を求めよ.

(2)  a+d= 1 のとき, A2014 -A を求めよ.

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