2014　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha >\beta \text{）}$とし，

$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }^n\\ {\beta }^n\end{array}\right)$

によって数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を定義する．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．

問１(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めなさい．

(2)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$の値を求めなさい．

(3)　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$の値を求めなさい．

問２　ベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,b_1)\text{，}$$\overrightarrow{q}=(a_2,b_2)\text{，}$$\overrightarrow{r}=(a_3,b_3)$と定義する．

(1)　$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{r}$の大きさ$\left|\overrightarrow{p}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{q}\right|\text{，}\left|\overrightarrow{r}\right|$を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について，$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta \text{，}$$\tan \theta$を求めなさい．

(3)　$\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について，$\cos 2\theta \text{，}$$\sin 2\theta \text{，}$$\tan 2\theta$を求めなさい．

問３　自然数$n$について，$a_{n+1}\geqq a_n\text{，}$$b_{n+1}\geqq b_n$がそれぞれ成り立つ．

(1)　${\log }_{10}{a}_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす$n$をすべて求めなさい．

(2)　${\log }_{10}{b}_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす$n$をすべて求めなさい．

(3)　${\log }_{10}(a_n{b}_n)\leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=-7+k{\displaystyle {\int }_0^6}|x-u|du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．

問１　$k$の値を求めなさい．

問２　$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

問３　実数$s\text{，}t$が条件$0\leqq s\leqq 20\text{，}0\leqq t\leqq 20$を満たすながら動くとき，$xy$座標平面上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{2}}s+{\displaystyle \frac{1}{10}}t,-{\displaystyle \frac{1}{4}}s-{\displaystyle \frac{1}{5}}t)$が動く領域$D$を求めなさい．

問４　不等式$y\geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．