2014　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．

問１　${\displaystyle {\int }_0^1}\log (1+x^2)dx$を求めよ．

問２　導関数$f\prime (x)$の増減を調べ，$y=f\prime (x)$のグラフの概形をかけ．

問３　曲線$C\text{：}y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，曲線$y=1-\cos x\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$を$C$とする．

$0<t<a$とし，原点と$C$上の点$(t,1-\cos t)$を通る直線を$l$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$と直線$l$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)\text{，}t\leqq x\leqq a$の範囲で$C$と$l$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．

問２　$S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．

問３　$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}}$を求めよ．

　ただし，$a-{\displaystyle \frac{a^3}{3!}}<\sin a<a-{\displaystyle \frac{a^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{a^5}{5!}}\text{（}a>0\text{）}$は用いてよい．

【３】　$a$を正の定数とする．$\mathrm{AB}=a\text{，}$$\mathrm{AC}=2a\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$である$▵\mathrm{ABC}$と，$|2\overrightarrow{\mathrm{AP}}-2\overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a$を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．

問１　辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$を求めよ．

問２　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の最大値を求めよ．

問３　線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．

【４】　一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$2$頭の象がいる．$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に，次のルールに従って移動する．

　$0<p<1$とし，象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る．象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る．象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り，移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る．$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．

　はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし，$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_1$を求めよ．

問２　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

問３　$p={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$a_n$を求めよ．