2014　弘前大学　前期MathJax

2014-10041-0101

2014　弘前大学　前期

数学I，II，A，B

人文社会科，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援），農学生命科，医（看護，検査技術，理学，作業療法）学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　 $a + b + c + d = 10$ を満たす自然数 $a ， b ， c ， d$ の組の総数を求めよ．

(2)　 $| a | + | b | + | c | + | d | = 10$ を満たし，どれも $0$ とはならない整数 $a ， b ， c ， d$ の組の総数を求めよ．

(3)　 $| a | + | b | + | c | + | d | = 10$ を満たす整数 $a ， b ， c ， d$ の組の総数を求めよ．

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2014　弘前大学　前期

数学I，II，A，B

人文社会科，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援），農学生命科，医（看護，検査技術，理学，作業療法）学部

易□　並□　難□

【２】　 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $ABCD$ に対し，辺 $AB$ の中点を $E ，$ 辺 $AC$ の中点を $F ，$ 辺 $BD$ を $t : (1 - t)$ の比に内分する点を $G ，$ 辺 $CD$ を $u : (1 - u)$ の比に内分する点を $H$ とする．ただし， $0 < t < 1 ， 0 < u < 1$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $4$ 点 $E ， F ， G ， H$ が同一平面上にあるならば， $t = u$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $t = u$ のとき， ${EF}^{2} + {FH}^{2} + {HG}^{2} + {GE}^{2}$ の値の範囲を求めよ．

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数学I，II，A，B

人文社会科，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援），農学生命科，医（看護，検査技術，理学，作業療法）学部

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【３】　 $a > 0 ， b > 1$ とする．関数 $f_{1} (x) = - 2 x^{2} - x + 3$ と $f_{2} (x) = a x^{2} - a (b + 1) x + a b$ に対し，関数 $f (x)$ を

$x ≦ 1$ のとき $f (x) = f_{1} (x)$

$x > 1$ のとき $f (x) = f_{2} (x)$

と定める．また関数 $g (x)$ を

$g (x) = \int_{- \frac{3}{2}}^{x} f (t) d t$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　微分係数 ${f_{1}}^{'} (1)$ と ${f_{2}}^{'} (1)$ が等しくなるための $a ， b$ の関係式を求めよ．

(2)　 $a ， b$ が(1)で求めた関係式を満たすとする． $g (x)$ の最小値を $b$ の値によって場合分けをして求めよ．

2014-10041-0104

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旧課程数学I，II，III，A，B，C

教育（数学，理科，技術専修），医（医，放射線技術学科），理工学部

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【４】　次の連立不等式の表す領域を $D$ とする．

${\begin{cases} x^{2} + y^{2} ≦ 3 \\ x^{2} + y^{2} + 6 y ≧ 3 \end{cases}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域 $D$ を座標平面上に図示せよ．

(2)　領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

2014-10041-0105

2014　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

教育（数学，理科，技術専修），医（医，放射線技術学科），理工学部

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【５】　 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ とし， $f^{'} (x)$ を $f (x)$ の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数 $c$ を $0 ≦ c ≦ 2$ とする．このとき， $0 ≦ x ≦ 2$ を満たす $x$ に対して，不等式

$f (x) ≦ f^{'} (c) (x - c) + f (c)$

が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

(2)　 $n$ を自然数とする． $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ は $0$ 以上の実数で， $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 2$ を満たすとする．このとき，不等式

$f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n}) ≦ n f (\frac{2}{n})$

が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

2014-10041-0106

2014　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

教育（数学，理科，技術専修），医（医，放射線技術学科），理工学部

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【６】　行列

$A = (\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) ， E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

について，次の問いに答えよ．

(1)　 $4 P + Q = A$ と $P + Q = E$ を満たす $2$ 次正方行列 $P ， Q$ を求めよ．

(2)　(1)で求めた $P ， Q$ に対して， $P Q ， Q P$ を求めよ．

(3)　自然数 $n$ に対して， $A^{n}$ を求めよ．

(4)　 $A^{n}$ の逆行列を $B_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d n \end{matrix})$ とする．極限値 $\lim_{n \to \infty} a_{n} ， \lim_{n \to \infty} b_{n} ， \lim_{n \to \infty} c_{n} ， \lim_{n \to \infty} d_{n}$ を求めよ．

2014-10041-0107

2014　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

理工（数学科）学部

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【７】　数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ を，

${\begin{cases} a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \sqrt{2 b_{n} + 1} & （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ） \\ b_{1} = 3 ， b_{n + 1} = \sqrt{2 a_{n} + 1} & （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ） \end{cases}$

と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $α = 1 + \sqrt{2}$ とする．自然数 $n$ に対して不等式

$| a_{n + 1} - α | ≦ (\frac{2}{1 + α}) | b_{n} - α |$

が成り立つことを示せ．

(2)　極限値 $\lim_{n \to \infty} a_{n} ， \lim_{n \to \infty} b_{n}$ を求めよ．

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