2014　岩手大学　前期MathJax

【１】　直円柱に対して，底面の半径を$x\text{，}$高さを$h\text{，}$表面積（側面積と$2$つの底面積の合計）を$S\text{，}$体積を$V$で表すことにする．ただし，$x>0\text{，}h>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S$を$x$と$h$を用いて表せ．

(2)　$h$を$x$と$S$を用いて表せ．また，$V$を$x$と$S$を用いて表せ．

(3)　$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ．

(4)　$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$と$h$の比，すなわち$x:h$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，次の漸近線で$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を定める．

$a_1=1\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=2a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}{b}_2=1\text{，}{b}_3=1\text{，}{b}_{n+3}=3b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$を用いよ．

(1)　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の最初の$6$項をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+6}=8a_n$となることを示せ．

(3)　$m$を$0$以上の整数とするとき，$a_{6m+1}$と$b_{6m+1}$を$m$を用いて表せ．

(4)　$6$で割った余りが$1$となるような$n$で，$a_n\geqq b_n$となるものをすべて求めよ．

(5)　$6$で割った余りが$3$となるような$n$で，$a_n\geqq b_n$となるものをすべて求めよ．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{A}(\pi ,1)$がある．また，関数$y=\cos x$のグラフ上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$との中点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$(t,\cos t)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とするとき，$y$を$x$の関数として表せ．また，$y$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　設問(2)で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフを同一の座標平面上に描け．ただし，どちらも$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で描け．

(4)　設問(2)で求めた関数を$f(x)$とする．$2$つの関数$y=\cos x$と$y=f(x)$のグラフの交点について，その$y$座標の取り得る値をすべて求めよ．ただし，$x$の範囲はすべての実数とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0\text{，}a\ne 1$を満たすものとする．

$a^{2x}-a^x-6<0$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=5\text{，}\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$a$である正四面体の体積が${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　底面の面積を$a$で表せ．

(2)　正四面体の高さを$a$で表せ．

(3)　$a$の値を求めよ．

【３ア】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき

$2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=-9$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=-3$

を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を示せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．

【３イ】　次のように定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-3a_n$で定義するとき，一般項$b_n$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$x\ne {\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k{b}^{k-1}$を求めよ．

【４カ】　$a\text{，}b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-a{x}^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a=1\text{，}b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,b)$を座標平面上に図示することで与えよ．

【４キ】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)　極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$の極値を求めよ．

(3)　曲線$y=|f(x)|$と$x$軸および$2$直線$y={\displaystyle \frac{1}{e}}\text{，}x=e$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-2\sin 2x+2\cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x+3}-8}{x-1}}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,4)$を点$(4,6)$に移し，合成変換$f\circ g$が点$(2,2)$を点$(-12,4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }x\log (x+1)dx$

【２】　$a$を正の実数とする．平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{a^2+9}$を満たしている．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定め，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．

【３】　座標平面上に$2$つの曲線$C_1\text{：}y=-x^2+12\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2-10x+29$がある．曲線$C_1$上を動く点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，曲線$C_1$の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

(3)　接線$l$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　接線$l$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，それらの中点の軌跡を求めよ．

【４】　連続な関数$f(x)$が以下の関係式を満たすとき，次の問いに答えよ．

${\displaystyle {\int }_a^x}(x-t)f(t)dt=2\sin x-x+b$

ただし，$a\text{，}b$は定数であり，$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

(1)　${\displaystyle {\int }_a^x}f(x)dx$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{\pi }^{\frac{3}{2}\pi }}{f(x)\}}^{3}dx$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$xy+y^2+xz+yz$を因数分解せよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a<b<c\text{）}$は連続した自然数とする．このとき

$ab+b^2+ac+bc$

を$4$で割った余りが$3$であることを示せ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a<b<c\text{）}$は連続した自然数とする．このとき

$a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+b{c}^2+a{c}^2+2abc$

は$6$の倍数であることを示せ．