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2014 宮城教育大学 前期

初等教育(理数・生活系),特別支援教育(II型)

易□ 並□ 難□

【1】  1n< m をみたす自然数の組を ( m,n ) と表し,これらを次の規則で順番に並べる.

(ⅰ)  1 番目は組 ( 2,1 ) とする.

(ⅱ)  k 番目が組 ( m,n ) のとき,

n<m- 1 ならば, k+1 番目は組 ( m,n+ 1) とし,

n=m- 1 ならば, k+1 番目は組 ( m+1, 1) とする.

 例えば, 2 番目の組は ( 3,1 ) 3 番目の組は ( 3,2 ) 4 番目の組は ( 4,1 ) 5 番目の組は ( 4,2 ) となる.

 次の問いに答えよ.

(1)  20 番目の自然数の組を求めよ.

(2)  m 2 以上の自然数とするとき,組 ( m,1 ) は何番目かを答えよ.

(3)  1n <m5 をみたすすべての組 ( m,n ) を考える.組 ( m,n ) から分数 nm を作るとき,これらの分数の総和をを求めよ.

(4)  l 2 以上の自然数とする. 1n <ml をみたすすべての組 ( m,n ) から作る分数 nm の総和が 47532 であるとき, l の値を求めよ.

2014 宮城教育大学 前期

初等教育(理数・生活系),特別支援教育(II型),中等教育(技術・家庭科専攻)

易□ 並□ 難□

【2】 関数

f( x)= -aπ ( a-| t| )d t

を考える.次の問いに答えよ.ただし, a は正の定数とする.

(1)  x0 x 0 の場合に,関数 f (x ) を求めよ.

(2) 関数 y =f( x) のグラフをかけ.

(3) 曲線 y =f( x) 上の点 A x 座標は負であり,点 A における曲線 y =f( x) の接線の傾きが - 2a であるとき,点 A の座標を求めよ.

 さらに,点 A を通って x 軸に平行な直線と曲線 y =f( x) で囲まれた図形の面積を求めよ.

2014 宮城教育大学 前期

初等教育(理数・生活系),特別支援教育(II型),中等教育(技術・家庭科,数学専攻)

易□ 並□ 難□

【3】 辺の長さが OA =1 OB= 2 OC=3 である四面体 OABC において, OAAB OAAC とする.辺 OA の中点を D とし,辺 OB 1 :3 に内分する点を E OC 1 :8 に内分する点を F とする. 3 D E F を通る平面上の点 G が, EGDE FGDF をみたすとする.

  OA =a OB =b OC =c とするとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 a b a c の値をそれぞれ求めよ.

(2)  b c = t とおくとき, OG a b c および t を用いて表せ.

(3)  3 A B C を通る平面と直線 OG が点 H で交わるとする.直線 AH と直線 BC の交点を I とするとき, BI:IC を求めよ.

2014 宮城教育大学 前期

中等教育(技術・家庭科専攻)

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  0θ 2π とする.関数

y=2 sin2 θ-2 2( sinθ+ cosθ) +2

について, t=sin θ+ cosθ とおいて, y t の関数で表せ.また, y の最大値,最小値とそのときの θ の値を求めよ.

2014 宮城教育大学 前期

中等教育(技術・家庭科専攻)

中等教育(数学専攻)【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2)  3 つの不等式

logy (x2 -3x +2) 1 0<x 3 0< y<1

を同時にみたす領域を x y 平面上に図示せよ.

2014 宮城教育大学 前期

中等教育(数学専攻)

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an }

a1= a2= -1

an+ 2-( n+2) an +1+ nan =( n2+n +1) (n+1 ) ! n=1 2 3

をみたすとする.次の問いに答えよ.

(1) 数学的帰納法を用いて,

an+ 1-n an =(n -1) (n +1) ! n=1 2 3

が成り立つことを示せ.

(2)  bn= a n( n-1) ! とおくとき,(1)を用いて数列 { bn } の一般項を求めよ.

(3) 数列 { an } の一般項を求めよ.

2014 宮城教育大学 前期

中等教育(数学専攻)

中等教育(技術・家庭科専攻)【1】(2)の類題

易□ 並□ 難□

【2】  3 つの不等式

logy (x2 -3x +2) 1 0< x3 0< y2

を同時にみたす領域を xy 平面上に図示せよ.さらに,点 ( x,y ) がこの領域内を動くとき, 3x +4y の最大値とそれを与える x y の値を求めよ.

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中等教育(数学専攻)

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x )=e 2sin x を考える.次の問いに答えよ.

(1)  0x 2π において,関数 f (x ) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べ,グラフの概形をかけ.

(2)  a を実数とする.関数 f (x ) の導関数を f ( x) とするとき, x の方程式 f ( x)= a 0 x2 π における実数解の個数を求めよ.

2014 宮城教育大学 前期

中等教育(数学専攻)

易□ 並□ 難□

【5】 関数

f( x)= ax (a+1 -|t | )e -t dx

を考える.次の問いに答えよ.ただし, a は正の定数とする.

(1)  x0 x 0 の場合に,関数 f (x ) を求めよ.

(2)  x0 のとき,関数 f (x ) の極値と変曲点を求めよ.

(3)  x1 のとき, ex >x2 となることを示せ.また, g( x)= axf (t )d t とおくとき, limx g( x)= 0a |f (x) | dx をみたす a の値を求めよ.

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