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2014-10101-0101
2014 秋田大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 会社員の 3 人は,月曜,火曜,水曜の三日間連続して,会社近くの 3 つの飲食店のいずれかで昼食をとる.いずれの曜日も, 3 人は互いに独立に 3 店から 1 つを無作為に選ぶ.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ.
① 3 人の選ぶ店が互いにすべて異なる
② 3 人全員が同じ店を選ぶ
③ 2 人は同じ店を選び, 1 人だけ別の店を選ぶ
(ⅱ) 月曜,火曜の連続した二日間で,火曜にはじめて 3 人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ.
(ⅲ) 月曜,火曜,水曜の連続した三日間で,少なくとも 1 日は 3 人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ.
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【2】 次の問いに答えよ.
(ⅰ) 次の式を,実数の範囲で因数分解せよ.
6⁢( x+3) ⁢(x +4) ⁢(x +6) ⁢(x +8) -(x +1) ⁢(x +2) ⁢(x +12) ⁢(x +24)
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(ⅱ) n を自然数, A ,B を整数とする.多項式 x 2⁢n -4⁢ x8+ A⁢x+ B が x2-x +1 で割り切れるように, A , B の値を定めよ.
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【3】 条件 a1= 0 ,a n+1 =4⁢ an+ 3 ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) によって定められる数列 { an } がある.関数 fn⁡ (x ) と g ⁡(x ) が
fn ⁡(x )= an⁢ x2+ an+ 1
g⁡( x)= x3+ 3⁢x 2-9 ⁢x+4
で定義されるとき,次の問いに答えよ.
(ⅰ) 数列 { an } の一般項を求めよ.また, ∑k= 1n ak を求めよ.
(ⅱ) 関数 y =|f 2⁡( x)- g⁡( x) | のグラフをかけ.また, -3≦ x≦3 の範囲で y の値の最大値とそのときの x の値を求めよ.
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【4】 次の問いに答えよ.
(ⅰ) 0≦θ ≦π 2 とする. sin⁡θ = 34 のとき, cos⁡θ と tan ⁡θ の値を求めよ.また, sin⁡8 ⁢θ の値を求めよ.
(ⅱ) t=cos⁡ θ とおく.関数 y =- 89⁢ sin 2⁡ θ 2- 49 ⁢ sin2⁡ θ+ 12 を t の関数として表せ.
(ⅲ) (ⅱ)の関数 y の 0 ≦θ<2 ⁢π における最大値と最小値を求めよ.また,そのときの θ の値を求めよ.
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【5】 0 以上の整数 n に対して,
gn⁡ (x )= e-n ⁢( x-n) ⁢(n +1-x )
とおく.次の問いに答えよ.
(ⅰ) n≦x ≦n+1 において,曲線 y =gn ⁡( x) 上の点 ( α,g n⁡( α) ) における接線の傾きが - gn⁡ (α ) となる α を求めよ.
(ⅱ) f⁡( x)= c⁢e -x ( c>0 ) とおく.曲線 y =f⁡( x) が曲線 y =gn ⁡(x ) と共有点をもち,その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような c を求めよ.
(ⅲ) 曲線 y =gn ⁡(x ) と(ⅱ)で求めた曲線 y =f⁡( x) の共有点を Pn とし,点 Pn における y =f⁡( x) の接線を l n とする.また, ln と x 軸との交点を Qn とする.曲線 y =f⁡ (x ) と接線 ln , および点 Qn を通り y 軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を S n とする. limn →∞ ( S0+ S1+ ⋯+S n) を求めよ.
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【6】 原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上の点を P とし,線分 OP と x 軸の正の向きとのなす角を θ とする.ただし, 0≦θ ≦ π2 とする.また, C 上の点 Q を,線分 OQ と x 軸の正の向きとのなす角が θ2 となる点とする.このとき,次の問いに答えよ.
(ⅰ) 直線 OQ と直線 x =1 との交点を (1 ,t ) とするとき, P の座標を t を用いて表せ.
(ⅱ) P から x 軸におろした垂線の交点を H とする. ▵OPH の三辺の長さの和を θ で表す関数を r ⁡(θ ) とするとき,関数 y = 1r⁡ (θ ) のグラフをかけ.ただし,横軸に θ , 縦軸に y をとるものとする.
(ⅲ) 定積分 ∫ 0π2 1r⁡ (θ ) ⁢ dθ を求めよ.
志望別問題選択一覧
国際資源学部 【1】,【3】,【6】
教育文化(理数教育コース除く)学部 【1】,【3】,【4】
教育文化(理数教育コース)学部 【1】,【3】,【6】
医学部 【2】,【5】,【6】
理工学部 【1】,【3】,【6】