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2014 秋田大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 会社員の 3 人は,月曜,火曜,水曜の三日間連続して,会社近くの 3 つの飲食店のいずれかで昼食をとる.いずれの曜日も, 3 人は互いに独立に 3 店から 1 つを無作為に選ぶ.次の問いに答えよ.

(ⅰ) 月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ.

  3 人の選ぶ店が互いにすべて異なる

  3 人全員が同じ店を選ぶ

  2 人は同じ店を選び, 1 人だけ別の店を選ぶ

(ⅱ) 月曜,火曜の連続した二日間で,火曜にはじめて 3 人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ.

(ⅲ) 月曜,火曜,水曜の連続した三日間で,少なくとも 1 日は 3 人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(ⅰ) 次の式を,実数の範囲で因数分解せよ.

6( x+3) (x +4) (x +6) (x +8) -(x +1) (x +2) (x +12) (x +24)

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易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(ⅱ)  n を自然数, A B を整数とする.多項式 x 2n -4 x8+ Ax+ B x2-x +1 で割り切れるように, A B の値を定めよ.

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【3】 条件 a1= 0 a n+1 =4 an+ 3 n=1 2 3 によって定められる数列 { an } がある.関数 fn (x ) g (x )

fn (x )= an x2+ an+ 1

g( x)= x3+ 3x 2-9 x+4

で定義されるとき,次の問いに答えよ.

(ⅰ) 数列 { an } の一般項を求めよ.また, k= 1n ak を求めよ.

(ⅱ) 関数 y =|f 2( x)- g( x) | のグラフをかけ.また, -3 x3 の範囲で y の値の最大値とそのときの x の値を求めよ.

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【4】 次の問いに答えよ.

(ⅰ)  0θ π 2 とする. sinθ = 34 のとき, cosθ tan θ の値を求めよ.また, sin8 θ の値を求めよ.

(ⅱ)  t=cos θ とおく.関数 y =- 89 sin 2 θ 2- 49 sin2 θ+ 12 t の関数として表せ.

(ⅲ) (ⅱ)の関数 y 0 θ<2 π における最大値と最小値を求めよ.また,そのときの θ の値を求めよ.

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【5】  0 以上の整数 n に対して,

gn (x )= e-n ( x-n) (n +1-x )

とおく.次の問いに答えよ.

(ⅰ)  nx n+1 において,曲線 y =gn ( x) 上の点 ( α,g n( α) ) における接線の傾きが - gn (α ) となる α を求めよ.

(ⅱ)  f( x)= ce -x c>0 とおく.曲線 y =f( x) が曲線 y =gn (x ) と共有点をもち,その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような c を求めよ.

(ⅲ) 曲線 y =gn (x ) と(ⅱ)で求めた曲線 y =f( x) の共有点を Pn とし,点 Pn における y =f( x) の接線を l n とする.また, ln x 軸との交点を Qn とする.曲線 y =f (x ) と接線 ln および点 Qn を通り y 軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を S n とする. limn ( S0+ S1+ +S n) を求めよ.

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【6】 原点 O を中心とする半径 1 の円 C 上の点を P とし,線分 OP x 軸の正の向きとのなす角を θ とする.ただし, 0θ π2 とする.また, C 上の点 Q を,線分 OQ x 軸の正の向きとのなす角が θ2 となる点とする.このとき,次の問いに答えよ.

(ⅰ) 直線 OQ と直線 x =1 との交点を (1 ,t ) とするとき, P の座標を t を用いて表せ.

(ⅱ)  P から x 軸におろした垂線の交点を H とする. OPH の三辺の長さの和を θ で表す関数を r (θ ) とするとき,関数 y = 1r (θ ) のグラフをかけ.ただし,横軸に θ 縦軸に y をとるものとする.

(ⅲ) 定積分 0π2 1r (θ ) dθ を求めよ.

志望別問題選択一覧

国際資源学部 【1】【3】【6】

教育文化(理数教育コース除く)学部 【1】【3】【4】

教育文化(理数教育コース)学部 【1】【3】【6】

医学部  【2】【5】【6】

理工学部 【1】【3】【6】

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