2014　山形大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において

${\displaystyle \frac{a+b}{6}}={\displaystyle \frac{b+c}{5}}={\displaystyle \frac{c+a}{7}}$

であり，面積が$3\sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に放物線$y=x^2$がある．この放物線上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,b^2)$があり，$a>0\text{，}$$b<0$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$と$▵\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．

【３】　座標平面上の放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り，直線$l_1$に垂直な直線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$C$と直線$l_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　放物線$C$と直線$l_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．

(5)　面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問１　実数$k$に対し，方程式$x|1-\left|x\right||=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)が成り立つとする．

(ⅰ)　この袋から$1$個の玉を取り出すとし，赤玉が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(ⅱ)　この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は${\displaystyle \frac{1}{7}}$である．

(ⅲ)　この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は${\displaystyle \frac{6}{35}}$である．

　このとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3+a_1{x}^2+a_{2}x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$は負の実数とする．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．

　$f^{\prime }(x)=0$の正の実数解を$\alpha \text{，}$負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha <\beta$を示せ．

(2)　$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．

(3)　$f(x)+f(-x)<0$を示せ．

(4)　$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x\leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．

【３】　座標平面上の点$(\sqrt{3},0)$を，$\mathrm{A}\text{，}$点$(-\sqrt{3},0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$が楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上にあり，$x_1>0\text{，}$$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$を$x_1$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$の値を求めよ．

(3)　楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　直線$l$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．

【４】　曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,e)$における接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,0)$とする．この曲線と直線$l$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b$を求めよ．

(2)　図形$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log y)}^{2}dy$を求めよ．

(4)　図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【１】　二つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-a)}^2+b$

がある．ただし，$a\text{，}b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　(2)より$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

(4)　放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．

【２】　$y=\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$で与えられる曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形$S$について，以下の問いに答えよ．

(1)　図形$S$の面積を求めよ．

(2)　図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．

(3)　部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }{x}^2\sin xdx$

(4)　図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として

$x={\displaystyle \frac{2}{\pi }}t\text{，}y=\cos t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と表せることを利用せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha -1}}+{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta -1}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x$が自然数のとき，不等式${(\sqrt{x}-\sqrt{2})}^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+5\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$が成り立っている．$▵\mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\sqrt{t})\text{（}t>0\text{）}$における接線を$l$とする．さらに，直線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$▵\mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．

(4)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -6\\ 8& 13\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& a\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ -1& 4\end{array}\right)$が等式$AP=PB$を満たしている．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b$は実数で，$b\ne -4$とする．

(1)　行列$P$の逆行列を$b$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

【４】　$▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}$は，${\mathrm{B}}_1\mathrm{C}=\sqrt{2}\text{，}\angle {\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_1\mathrm{C}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle {\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を満たす．右図のように，点${\mathrm{A}}_1$から辺${\mathrm{B}}_1\mathrm{C}$に下ろした垂線を${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_2$とし，点${\mathrm{B}}_2$から辺${\mathrm{A}}_1\mathrm{C}$に下ろした垂線を${\mathrm{B}}_2{\mathrm{A}}_2$とする．次に，点${\mathrm{A}}_2$から辺${\mathrm{B}}_1\mathrm{C}$に下ろした垂線を${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_3$とし，点${\mathrm{B}}_3$から辺${\mathrm{A}}_1\mathrm{C}$に下ろした垂線を${\mathrm{B}}_3{\mathrm{A}}_3$とする．この操作を繰り返し，辺${\mathrm{A}}_1\mathrm{C}$上に点${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}\cdots$を，辺${\mathrm{B}}_1\mathrm{C}$上に点${\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_4\text{，}\cdots$を定める．自然数$n$に対し，$▵{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{B}}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，これらの面積の総和を$T={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_1=\sin \theta {\cos }^3\theta \text{，}{S}_2={\sin }^5\theta {\cos }^3\theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．

(2)　$T={\displaystyle \frac{\sin \theta \cos \theta }{1+{\sin }^2\theta }}$を示せ．

(3)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．

【１】　数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．

(ⅰ)　赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．

(ⅱ)　取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．

(ⅲ)　取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．

(ⅳ)　取り出した玉は袋に戻す．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

(2)　試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．

(3)　試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．

(4)　試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(5)　$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}=90\mathrm{°}$であるとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{ST}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{SU}}\right|\text{，}$$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|x-2t|\sin tdt$で定める（$0\leqq x\leqq \pi$）．次の問に答えよ．

(1)　次の不定積分を求めよ．ただし，$a>0$とする．

${\displaystyle \int }t\sin atdt\text{，}{\displaystyle \int }{\sin }^2{\displaystyle \frac{t}{2}}dt$

(2)　$f(x)$の最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)-f(0)$と$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ 5& -2\end{array}\right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$P=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& 1\end{array}\right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．

(2)　$A^n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{7a_n-4}{5a_n-2}}$で定める．

(ⅰ)　$A^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$とおくとき，$A^{n+1}=A{A}^n$であることと数学的帰納法を用いて$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}}$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　座標平面上の点$(-2,1)$を$\mathrm{A}\text{，}$点$(a,{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．

(3)　次の条件によって定められる数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅰ)　$p_1=1\text{，}{p}_n>0\text{，}$

(ⅱ)　$q_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{p_n}^2\text{，}$

(ⅲ)　$p_n-p_{n+1}=2\sqrt{q_n{q}_{n+1}}\text{．}$

(4)　$a=p_n$のとき，(1)と(2)で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=3^{3x-1}+3^{-3x-1}-3^{2x}-3^{-2x}-2\cdot 3^x-2\cdot 3^{-x}-2$

と$t=3^x+3^{-x}$について次の問に答えよ．

(1)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$3^{3x}+3^{-3x}$と$3^{2x}+3^{-2x}$を$t$の式で表し，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(3)　$f(x)$の最小値を求めよ．

(4)　$a$を実数とするとき，$f(x)=a$をみたす$x$の個数を求めよ．