2014　福島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}b$を正の実数とするとき，不等式

$a^3+b^3\geqq a^{2}b+a{b}^2$

が成り立つことを示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$2$次方程式

$2x^2-kx+1=0$

が，$0<x<1$および$1<x<2$の範囲に解を$1$つずつもつとき，定数$k$の値の範囲を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　正の実数$x\text{，}y\text{，}z$が

${\displaystyle \frac{yz}{x}}={\displaystyle \frac{zx}{4y}}={\displaystyle \frac{xy}{9z}}$

を満たすとする．このとき，式

${\displaystyle \frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}$

の値を求めなさい．

【２】　次の連立方程式を解きなさい．

$\{\begin{array}{c}4{({\log }_{10}x)}^2+2{\log }_{10}y=1\\ x^{2}y=1\end{array}$

【３】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=2$と直線$l\text{：}x+y=k$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっているとする．

(1)　$k$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta$および$\alpha \beta$を$k$を用いて表しなさい．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表しなさい．

(4)　円$C$上の点$\mathrm{A}(-1,-1)$について

$2\mathrm{PQ}=\mathrm{AP}$

となるときの$k$の値を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　半径$1$の円に内接する正$12$角形の面積と一辺の長さを求めなさい．

(2)　半径$1$の円に外接する正$12$角形の面積と一辺の長さを求めなさい．

【５】　正の整数$n$を

$n=a_1+a_2+\cdots +a_k$

のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．

　いま，$n$の分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$であって，積$a_1{a}_2\cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．

(1)　$P(4)$を求めなさい．

(2)　$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．

(3)　最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．

(4)　最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．

(5)　$P(20)$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\sin {\displaystyle \frac{7x}{3}}\cos {\displaystyle \frac{2x}{3}}dx$

を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の無限級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めなさい．

${\displaystyle \frac{1}{2^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{4^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{6^2-1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{(2n)}^2-1}}+\cdots$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$a$ を定数とする．$x$ についての方程式

$1-4{\cos }^{2}x=a\text{（}0\leqq x<\pi \text{）}$

の異なる解の個数を調べなさい．

【４】　次のように定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．

$a_1=2a_{n+1}={\displaystyle \frac{2{a_n}^2+1}{3{a_n}^2}}$

(1)　$a_2$を求めなさい．

(2)　任意の自然数$n$について$a_n>1$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

(3)　任意の自然数$n$について$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示しなさい．

【５】　$a\text{，}b$を正の実数とし，関数$y=f(x)\text{，}y=g(x)$を次のように定める．

$f(x)=2\sqrt{x-a}\text{（}x\geqq a\text{）}$

$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+b\text{（}x\geqq 0\text{）}$

　$y=f(x)$のグラフを$C_1\text{，}y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1\text{，}{C}_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．

(1)　関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$t$の値の範囲を求めなさい．

(4)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．

(5)　$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =-1$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の関数を部分しなさい．

$y=\log (x^2+2x+1)$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{2x^2}{x^3+1}}dx$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(3)　$f^{\prime }(x)$を$f(x)$を用いた式で表しなさい．

(4)　$G(a)={\displaystyle {\int }_{-a}^a}{\displaystyle \frac{1-{\{f(x)\}}^2}{2}}dx$とするとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }G(a)$の値を求めなさい．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-6,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-8)\text{，}\mathrm{C}(15,28)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．

(6)　$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．