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2014-10161-0101
2014 茨城大学 前期
教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 右の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである.各平方数については,第 n 段目の第 m 項と呼ぶことにする.例えば,第 4 段目の第 2 項と呼ばれる平方数は 64 である.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 第 n 段目の第 1 項を n を用いて表せ.
(2) 第 n 段目の各項の総和を n を用いて表せ.
2014-10161-0102
【2】 次の各問に答えよ.ここで,必要ならば 0.301 <log10 ⁡2<0.302 であることを用いてもよい.
(1) k≦log 2⁡ 25<k+ 1 を満たす自然数 k を求めよ.
(2) 8n の 桁けた 数が 26 以上になる最小の自然数 n を求めよ.例えば, 2014 の桁数は 4 である.
2014-10161-0103
【3】 放物線 y =x2 を C として, C 上に点 A ( -1,1 ) をとる.正の実数 a に対して,点 B ( a,a2 ) における C の接線を l 1 とし, 2 点 A ,B を通る直線を l 2 とする.また, C と l 1 および x 軸とで囲まれた図形の面積を S 1 とし, C と l 2 で囲まれた図形の x ≧0 の部分の面積を S 2 とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 接線 l 1 の方程式を求めよ.
(2) 2< S2S 1< 2.01 を満たすための a の条件を求めよ.
2014-10161-0104
【4】 円に内接し対角線が直交する四角形 ABCD について,対角線の交点を E とし,その交点 E から辺 AD に垂線 EH を引く.また,線分 HE の延長と辺 BC の交点を M とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) ∠ADE= ∠CEM であることを示せ.
(2) BM=EM =CM であることを示せ.
2014-10161-0105
理学部
【1】 区間 0 <x<π で関数 y =f⁡( x)= cos⁡( 2⁢x ) を考え,そのグラフを C とする. C 上の点 P ( θ,cos⁡ (2 ⁢θ )) における C の法線を l , l と x 軸との交点を Q , 点 P と点 Q の距離を g ⁡(θ ) とする.ただし,点 P における C の法線とは,点 P を通りかつ P での C の接線に直交する直線のことである.以下の各問に答えよ.
(1) f⁡( x) の増減の様子を調べ, C の概形をかけ.さらに, f⁡( x) の最小値を与える x の値,および C と x 軸との交点の x 座標を求めよ.
(2) l の方程式を求めよ.
(3) Q の座標を求めよ.
(4) θ が 0 <θ< π の範囲を動くとき, t=cos 2⁡( 2⁢θ ) の動く範囲と g ⁡(θ ) の最大値を求めよ.
(5) θ が 0 <θ< π の範囲を動くとき, g⁡( θ) の最大値を与える θ の値をすべて求めよ.
2014-10161-0106
【2】 サイコロを 2 回続けて振って出た目の数を順に a , b とする.このとき, 3 次関数 f ⁡(x )= x3-a ⁢x+b について以下の各問に答えよ.
(1) f⁡( x) の極大値と極小値を a , b を用いて表せ.
(2) 3 次方程式 f ⁡(x )=0 が相異なる実数解をちょうど 2 つ持つような a , b の組を求めよ.
(3) (2)で求めた a , b の組に対して,曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(4) f⁡( x)= 0 が相異なる 3 つの実数解を持つ確率を求めよ.
2014-10161-0107
【3】 A ,E はそれぞれ行列 ( 24 1 -1 ), ( 10 0 1 ) を表す.以下の各問に答えよ.
(1) A⁢( A+2⁢ E)=a1 ⁢( A+2⁢ E) ,A⁢ (A- 3⁢E) =b1 ⁢(A -3⁢E ) となる数 a1 ,b1 を求めよ.
(2) 各自然数 n に対して
An ⁢(A +2⁢E )= an⁢ (A+ 2⁢E ), An ⁢(A -3⁢E )=b n⁢( A-3⁢ E)
となる数 an ,bn を求めよ.
(3) 各自然数 n に対して, An =cn ⁢A+ dn⁢ E となる数 cn ,dn を求めよ.
(4) 極限値 limn→ ∞ d1+ d2+ ⋯+dn an を求めよ.
(5) 各自然数 n に対して c n は整数であることを示せ.
2014-10161-0108
工学部
【1】 以下の各問に答えよ.
(1) (1 +i) 3- 2+3⁢ i= a+b⁢ i を満たす実数 a , b を求めよ.ただし, i は虚数単位である.
2014-10161-0109
【1】 以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり, e は自然対数の底である.
(2) 3 つの行列の積 ( 21 4 3) ⁢( 1 4) ⁢( 2 3 ) を計算せよ.
2014-10161-0110
(3) f⁡( x)= (x+ 4) 56⁢ (3 ⁢x+2 )4 3 とする.関数 f ⁡(x ) の x =0 における微分係数 f ′⁡( 0) を求めよ.
2014-10161-0111
(4) 極限 limn→ ∞ 1n⁢ ∑ k=1 ncos ⁡ k ⁢π3 n を求めよ.
2014-10161-0112
【2】 a ,b を実数とし, 2 次の正方行列を A =( a-1 b-1 a2 -1b 2-1 ) とする.以下の各問に答えよ.
(1) 行列 A が逆行列をもたないような実数 a , b の条件を求めよ.
(2) 1 個のさいころを 2 回振って出た目の数を順に a , b とおく場合を考える.このとき,行列 A が逆行列をもたない確率を求めよ.ただし,さいころの 1 から 6 までの目の出方は,同様に確からしいものとする.
2014-10161-0113
【3】 OA=3 , OB=2 , AB= 5 となる三角形 OAB がある.三角形 OAB の内部の点 C から辺 OA , OB に下ろした垂線の足をそれぞれ P ,Q とすると,
OP:PA= 2:1 , OQ:QB =1:2
であった. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とおくとき,以下の各問に答えよ.
(1) 内積 a→⋅ b→ , c→ ⋅a→ , c→ ⋅b→ をそれぞれ求めよ.
(2) c→ を a→ , b→ を用いて表せ.
(3) 点 C から辺 AB に下ろした垂線の足を R とするとき, AR:RB を求めよ.
注 点 X から辺 YZ に下ろした垂線の足とは,点 X から辺 YZ に下ろした垂線と辺 YZ との交点のことである.
2014-10161-0114
【4】 0 でない実数 t に対して,座標空間における 3 点 P ( t,0, 0) ,Q (t , 11+ t2 ,0 ), R( t,0, t 1+t2 ) を考える.以下の各問に答えよ.
(1) 三角形 PQR の面積を S ⁡(t ) とする.実数 t が 12 ≦t ≦1 の範囲を動くとき, S⁡( t) の最大値とそのときの t の値を求めよ.
(2) 実数 t が 12 ≦t≦ 1 の範囲を動くとき,三角形 PQR が通過してできる立体の体積 V を求めよ.