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2014 茨城大学 前期

教育学部

易□ 並□ 難□

  1 
  4 9 
  16 25 36 
  49 64 81 100 
  121 144 169 196 225 

【1】 右の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである.各平方数については,第 n 段目の第 m 項と呼ぶことにする.例えば,第 4 段目の第 2 項と呼ばれる平方数は 64 である.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 第 n 段目の第 1 項を n を用いて表せ.

(2) 第 n 段目の各項の総和を n を用いて表せ.



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教育学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の各問に答えよ.ここで,必要ならば 0.301 <log10 2<0.302 であることを用いてもよい.

(1)  klog 2 25<k+ 1 を満たす自然数 k を求めよ.

(2)  8n けた 数が 26 以上になる最小の自然数 n を求めよ.例えば, 2014 の桁数は 4 である.

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教育学部

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【3】 放物線 y =x2 C として, C 上に点 A ( -1,1 ) をとる.正の実数 a に対して,点 B ( a,a2 ) における C の接線を l 1 とし, 2 A B を通る直線を l 2 とする.また, C l 1 および x 軸とで囲まれた図形の面積を S 1 とし, C l 2 で囲まれた図形の x 0 の部分の面積を S 2 とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 接線 l 1 の方程式を求めよ.

(2)  2< S2S 1< 2.01 を満たすための a の条件を求めよ.

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教育学部

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【4】 円に内接し対角線が直交する四角形 ABCD について,対角線の交点を E とし,その交点 E から辺 AD に垂線 EH を引く.また,線分 HE の延長と辺 BC の交点を M とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1)  ADE= CEM であることを示せ.

(2)  BM=EM =CM であることを示せ.

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理学部

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【1】 区間 0 <x<π で関数 y =f( x)= cos( 2x ) を考え,そのグラフを C とする. C 上の点 P ( θ,cos (2 θ )) における C の法線を l l x 軸との交点を Q P と点 Q の距離を g (θ ) とする.ただし,点 P における C の法線とは,点 P を通りかつ P での C の接線に直交する直線のことである.以下の各問に答えよ.

(1)  f( x) の増減の様子を調べ, C の概形をかけ.さらに, f( x) の最小値を与える x の値,および C x 軸との交点の x 座標を求めよ.

(2)  l の方程式を求めよ.

(3)  Q の座標を求めよ.

(4)  θ 0 <θ< π の範囲を動くとき, t=cos 2( 2θ ) の動く範囲と g (θ ) の最大値を求めよ.

(5)  θ 0 <θ< π の範囲を動くとき, g( θ) の最大値を与える θ の値をすべて求めよ.

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理学部

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【2】 サイコロを 2 回続けて振って出た目の数を順に a b とする.このとき, 3 次関数 f (x )= x3-a x+b について以下の各問に答えよ.

(1)  f( x) の極大値と極小値を a b を用いて表せ.

(2)  3 次方程式 f (x )=0 が相異なる実数解をちょうど 2 つ持つような a b の組を求めよ.

(3) (2)で求めた a b の組に対して,曲線 y =f( x) x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

(4)  f( x)= 0 が相異なる 3 つの実数解を持つ確率を求めよ.

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理学部

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【3】  A E はそれぞれ行列 ( 24 1 -1 ) ( 10 0 1 ) を表す.以下の各問に答えよ.

(1)  A( A+2 E)=a1 ( A+2 E) A (A- 3E) =b1 (A -3E ) となる数 a1 b1 を求めよ.

(2) 各自然数 n に対して

An (A +2E )= an (A+ 2E ) An (A -3E )=b n( A-3 E)

となる数 an bn を求めよ.

(3) 各自然数 n に対して, An =cn A+ dn E となる数 cn dn を求めよ.

(4) 極限値 limn d1+ d2+ +dn an を求めよ.

(5) 各自然数 n に対して c n は整数であることを示せ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(1)  (1 +i) 3- 2+3 i= a+b i を満たす実数 a b を求めよ.ただし, i は虚数単位である.

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【1】 以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり, e は自然対数の底である.

(2)  3 つの行列の積 ( 21 4 3) ( 1 4) ( 2 3 ) を計算せよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり, e は自然対数の底である.

(3)  f( x)= (x+ 4) 56 (3 x+2 )4 3 とする.関数 f (x ) x =0 における微分係数 f ( 0) を求めよ.

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工学部

易□ 並□ 難□

【1】 以下の各問に答えよ.

(4) 極限 limn 1n k=1 ncos k π3 n を求めよ.

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工学部

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【2】  a b を実数とし, 2 次の正方行列を A =( a-1 b-1 a2 -1b 2-1 ) とする.以下の各問に答えよ.

(1) 行列 A が逆行列をもたないような実数 a b の条件を求めよ.

(2)  1 個のさいころを 2 回振って出た目の数を順に a b とおく場合を考える.このとき,行列 A が逆行列をもたない確率を求めよ.ただし,さいころの 1 から 6 までの目の出方は,同様に確からしいものとする.

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工学部

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【3】  OA=3 OB=2 AB= 5 となる三角形 OAB がある.三角形 OAB の内部の点 C から辺 OA OB に下ろした垂線の足をそれぞれ P Q とすると,

OP:PA= 2:1 OQ:QB =1:2

であった. OA =a OB =b OC =c とおくとき,以下の各問に答えよ.

(1) 内積 a b c a c b をそれぞれ求めよ.

(2)  c a b を用いて表せ.

(3) 点 C から辺 AB に下ろした垂線の足を R とするとき, AR:RB を求めよ.

注 点 X から辺 YZ に下ろした垂線の足とは,点 X から辺 YZ に下ろした垂線と辺 YZ との交点のことである.

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工学部

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【4】  0 でない実数 t に対して,座標空間における 3 P ( t,0, 0) Q (t , 11+ t2 ,0 ) R( t,0, t 1+t2 ) を考える.以下の各問に答えよ.

(1) 三角形 PQR の面積を S (t ) とする.実数 t 12 t 1 の範囲を動くとき, S( t) の最大値とそのときの t の値を求めよ.

(2) 実数 t 12 t 1 の範囲を動くとき,三角形 PQR が通過してできる立体の体積 V を求めよ.

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