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2014 茨城大学 後期

教育学部

易□ 並□ 難□

【1】  N は十進法で表された 4 けた の自然数であり,千の位の数が a 百の位の数が b 十の位の数が c そして一の位の数が d である.次の各問に答えよ.

(1)  a-b+ c-d 11 の倍数ならば, N 11 の倍数であることを示せ.

(2)  N 11 の倍数ならば, N5 -N 55 の倍数であることを示せ.

2014 茨城大学 後期

教育学部

易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とする.関数 f (x )=( x+1) (x -1 2) (x -1) に対して,曲線 C y=f (x ) 上の点 P ( a,f (a )) における C の接線を l 1 とする.このとき,次の各問に答えよ.

(1) 極値を求め,増減を調べて関数 y =f( x) のグラフをかけ.

(2) 接線 l 1 の方程式を求めよ.

(3) 点 P と異なる C 上の点 Q ( 1 -a2 ,f ( 1-a 2) ) における C の接線 l 2 について, l1 l 2 が交点を持たないとき P Q を求めよ.

2014 茨城大学 後期

教育学部

易□ 並□ 難□

【3】 三角形 ABC の辺 AC の中点を M とする.点 N を点 C が線分 AN の中点となるようにとる.点 C を通り辺 AB に平行な直線 l と点 B M を通る直線の交点を M また,直線 l と点 B N を通る直線の交点を N とするとき,次の各問に答えよ.

(1)  4 M M N N を結んでできる四角形が台形になることをベクトルを用いて示せ.

(2) 三角形 ABC AB =AC であるとき,点 M M N N が同一円周上にあることを示せ.

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教育学部

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【4】  4 人でじゃんけんをして,ただ 1 人の勝者が決まるまで繰り返し行うとき,次の各問に答えよ.ただし,負けた人は次回以降のじゃんけんに加わらないとする.

(1)  1 回目で 3 人が勝ち, 1 人だけ負ける確率を求めよ.

(2)  2 回目でただ 1 人の勝者が決まる確率を求めよ.ただし, 1 回目でただ 1 人の勝者が決まる場合は含まない.

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理(数学科)学部

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【1】  3 次関数 f (x )= x3-12 x+8 について以下の各問に答えよ.

(1)  3 次方程式 f (x )=0 は相異なる 3 つの実数解を, -4< x<4 の範囲に持つことを示せ.

(2) (1)により f ( x)= 0 のどの実数解も x =4cos θ 0< θ<π の形にかけることがわかる. x=4 cosθ f (x )=0 の実数解のとき, cos3 θ の値を求めよ.なお,必要なら 3 倍角の公式 cos 3θ =4 cos3 θ-3 cosθ を証明することなしに用いてよい.

(3)  f( x)= 0 3 つの実数解を xi= 4cos θi i= 1 2 3 とする.ただし, 0<θ i<π とする. x1 <x2 <x3 のときの θ1 θ 2 θ 3 の値を求めよ.

(4) (3)で考えた x1 x 2 x3 について

x1= 12 x22 -4 x2 =1 2 x32 -4 x3 =1 2 x12 -4

であることを示せ.なお,必要なら(3)で得られた結果を用いてよい.

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理(数学科)学部

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【2】  n 2 以上の自然数とする.助さんと格さんが剣道の試合を優勝が決まるまで続けて行う.ただし, 2 連勝するか,先に n 勝した方を優勝者とする.毎回の試合で助さんの勝つ確率を p とし,引き分けはないものとする.以下の各問に答えよ.

(1)  n=2 のとき,助さんが優勝する確率 S 2 を求めよ.

(2)  n=3 のとき,助さんが優勝する確率 S 3 を求めよ.

(3)  n=2 よりも n =3 の場合の方が助さんにとって有利(すなわち S2< S3 )となるための p の条件を求めよ.

(4)  n=3 p = 12 とする.このとき,助さんが完全優勝する確率を求めよ.ただし,完全優勝とは,常に勝ち数がそのときの相手の勝ち数以上(同数となってもよい)で優勝することである.

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理(数学科)学部

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【3】 座標平面上の曲線 C y=f (x )= 2 ex 1+ ex を考える.ただし, e は自然対数の底である. C 上の点 P ( t,f (t) ) における C の接線を l とする.直線 l x 軸との交点を Q ( a,0 ) l と直線 y =2 との交点を R ( b,2) R から x 軸へ下ろした垂線と x 軸との交点を S ( b,0 ) とする.以下の各問に答えよ.

(1) 関数 f (x ) の増減,曲線 C の凹凸,変曲点,漸近線を調べ, C の概形をかけ.

(2) 接線 l の方程式を求め, a b をそれぞれ t を用いて表せ.

(3) 三角形 PQS の面積が 2 f( t) となるような t の値を求めよ.

(4) 各自然数 n に対し, 0un f (x) dx= 2n となる数 u n を求めよ.

(5) 極限値 limn unn を求めよ.

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理(物理学科)学部

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【1】 座標平面上の 2

P ( 3 2 cos θ,sin θ) Q ( 32 , sin3 θ)

を考える.ベクトル OP OQ の内積を f (θ ) とする.ただし, O は原点である. θ 0 θ π の範囲を動くとき,以下の各問に答えよ.

(1) 点 P の軌跡を図示せよ.

(2)  f( θ) とその導関数 f ( θ) を求めよ.

(3)  f( θ) の最大値,最小値,およびそれらを与える θ の値を求めよ.

(4) 定積分 0π 6 f (θ )cos θ dθ を求めよ.

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理(物理学科)学部

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【2】  n 2 以上の自然数とし,曲線 Cn y=fn ( x)= x (x+ 1) n x 軸で囲まれた部分の面積を a n とする.以下の各問に答えよ.

(1) 関数 fn (x ) の増減と極値を調べ,曲線 C n の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい.

(2)  an を求めよ.

(3)  Sn= a2+ a3+ +a n とするとき,極限値 limn S n を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.解答用紙の所定の欄に答えのみを記入しなさい.

(1) 次の関数を微分せよ.ただし, e は自然対数の底である.

(ⅰ)  y=2 sinx (ⅱ)  y=e 3x cos 2x

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工学部

易□ 並□ 難□

【1】 以下の各問に答えよ.解答用紙の所定の欄に答えのみを記入しなさい.

(2) 次の定積分を求めよ.

(ⅰ)  0π2 cos2 xcos 3x dx (ⅱ)  01 2 x+3 x2+ 3x+2 dx

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工学部

易□ 並□ 難□

【1】 以下の各問に答えよ.解答用紙の所定の欄に答えのみを記入しなさい.

(3) 行列 A =( 1-3 1 -1 ) に対して, A11 =( ab cd ) とおく.このとき, a+b+ c+d の値を求めよ.ただし, A11 A 11 乗を表す.

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工学部

易□ 並□ 難□

【1】 以下の各問に答えよ.解答用紙の所定の欄に答えのみを記入しなさい.

(4) 袋の中に赤玉 4 個,青玉 3 個,黒玉 2 個,白玉 1 個の合計 10 個の玉が入っている.この袋から 3 個の玉を同時に取り出すとき,取り出した 3 個の玉の色がすべて異なる確率を求めて既約分数で表せ.

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工学部

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【2】 以下の文章の空欄にあてはまるもの(数,式など)を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.

  2 つの変数 x y は,連立不等式 x 2-8 x+12 y2 x-9 を満たしながら変化するものとする.このとき, x+y は最大値 をとり,最小値 をとる.

2014 茨城大学 後期

工学部

易□ 並□ 難□

【3】 以下の文章の空欄にあてはまるもの(数,式など)を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.

  1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC がある. 0<t <1 を満たす実数 t に対して,辺 AB t :1-t に内分する点を P BC t :1-t に内分する点を Q CA t2:1 -t2 に内分する点を R とする.三角形 PQR の面積を S (t ) とおくと, S( t)= となる.実数 t 0 <t<1 の範囲を動くとき, S( t) が最小となる t の値は であり,また,そのときの S (t ) の値は である.

2014 茨城大学 後期

工学部

易□ 並□ 難□

【4】 以下の文章の空欄にあてはまるもの(数,式など)を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.

2014年茨城大後期工学部【4】2014101610216の図

 点 O を原点とする座標平面において,異なる 2 つの動点 A B があり,

OA= 43 かつ AB =2 3

を満たしながら動くものとする.さらに,図のように,線分 OA x 軸の正の向きとのなす角を θ1 線分 OA の延長と線分 AB のなす角を θ 2 と定める.ただし,角の測り方は反時計回りを正の向きとする.

(1)  θ1 = π4 かつ θ2= π 6 のとき.点 B の座標は である.

(2)  0θ 1<2 π かつ 0 θ2 <2 π とする.点 B の座標が ( 1,3 ) となるような θ 1 θ 2 を求めると, θ1 = かつ θ2= あるいは, θ1 = かつ θ2= となる.ただし, < とする.



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