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2014-10161-0201
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2014 茨城大学 後期
教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 N は十進法で表された 4 桁けた の自然数であり,千の位の数が a , 百の位の数が b , 十の位の数が c , そして一の位の数が d である.次の各問に答えよ.
(1) a-b+ c-d が 11 の倍数ならば, N は 11 の倍数であることを示せ.
(2) N が 11 の倍数ならば, N5 -N は 55 の倍数であることを示せ.
2014-10161-0202
【2】 a を実数とする.関数 f ⁡(x )=( x+1) ⁢(x -1 2) ⁢(x -1) に対して,曲線 C :y=f ⁡(x ) 上の点 P ( a,f⁡ (a )) における C の接線を l 1 とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) 極値を求め,増減を調べて関数 y =f⁡( x) のグラフをかけ.
(2) 接線 l 1 の方程式を求めよ.
(3) 点 P と異なる C 上の点 Q ( 1 -a2 ,f⁡ ( 1-a 2) ) における C の接線 l 2 について, l1 と l 2 が交点を持たないとき P ,Q を求めよ.
2014-10161-0203
【3】 三角形 ABC の辺 AC の中点を M とする.点 N を点 C が線分 AN の中点となるようにとる.点 C を通り辺 AB に平行な直線 l と点 B ,M を通る直線の交点を M′ , また,直線 l と点 B ,N を通る直線の交点を N′ とするとき,次の各問に答えよ.
(1) 4 点 M ,M ′ ,N , N ′ を結んでできる四角形が台形になることをベクトルを用いて示せ.
(2) 三角形 ABC が AB =AC であるとき,点 M ,M ′ ,N , N′ が同一円周上にあることを示せ.
2014-10161-0204
【4】 4 人でじゃんけんをして,ただ 1 人の勝者が決まるまで繰り返し行うとき,次の各問に答えよ.ただし,負けた人は次回以降のじゃんけんに加わらないとする.
(1) 1 回目で 3 人が勝ち, 1 人だけ負ける確率を求めよ.
(2) 2 回目でただ 1 人の勝者が決まる確率を求めよ.ただし, 1 回目でただ 1 人の勝者が決まる場合は含まない.
2014-10161-0205
理(数学科)学部
【1】 3 次関数 f ⁡(x )= x3-12 ⁢x+8 について以下の各問に答えよ.
(1) 3 次方程式 f ⁡(x )=0 は相異なる 3 つの実数解を, -4< x<4 の範囲に持つことを示せ.
(2) (1)により f ⁡( x)= 0 のどの実数解も x =4⁢cos ⁡θ ( 0< θ<π ) の形にかけることがわかる. x=4 ⁢cos⁡θ が f ⁡(x )=0 の実数解のとき, cos⁡3 ⁢θ の値を求めよ.なお,必要なら 3 倍角の公式 cos ⁡3⁢θ =4⁢ cos3⁡ θ-3⁢ cos⁡θ を証明することなしに用いてよい.
(3) f⁡( x)= 0 の 3 つの実数解を xi= 4⁢cos⁡ θi ( i= 1 ,2 , 3 ) とする.ただし, 0<θ i<π とする. x1 <x2 <x3 のときの θ1 ,θ 2 ,θ 3 の値を求めよ.
(4) (3)で考えた x1 ,x 2 ,x3 について
x1= 12 ⁢ x22 -4 ,x2 =1 2⁢ x32 -4 ,x3 =1 2⁢ x12 -4
であることを示せ.なお,必要なら(3)で得られた結果を用いてよい.
2014-10161-0206
【2】 n を 2 以上の自然数とする.助さんと格さんが剣道の試合を優勝が決まるまで続けて行う.ただし, 2 連勝するか,先に n 勝した方を優勝者とする.毎回の試合で助さんの勝つ確率を p とし,引き分けはないものとする.以下の各問に答えよ.
(1) n=2 のとき,助さんが優勝する確率 S 2 を求めよ.
(2) n=3 のとき,助さんが優勝する確率 S 3 を求めよ.
(3) n=2 よりも n =3 の場合の方が助さんにとって有利(すなわち S2< S3 )となるための p の条件を求めよ.
(4) n=3 で p = 12 とする.このとき,助さんが完全優勝する確率を求めよ.ただし,完全優勝とは,常に勝ち数がそのときの相手の勝ち数以上(同数となってもよい)で優勝することである.
2014-10161-0207
【3】 座標平面上の曲線 C :y=f ⁡(x )= 2 ⁢ex 1+ ex を考える.ただし, e は自然対数の底である. C 上の点 P ( t,f⁡ (t) ) における C の接線を l とする.直線 l と x 軸との交点を Q ( a,0 ), l と直線 y =2 との交点を R ( b,2) ,R から x 軸へ下ろした垂線と x 軸との交点を S ( b,0 ) とする.以下の各問に答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) の増減,曲線 C の凹凸,変曲点,漸近線を調べ, C の概形をかけ.
(2) 接線 l の方程式を求め, a ,b をそれぞれ t を用いて表せ.
(3) 三角形 PQS の面積が 2 ⁢f⁡( t) となるような t の値を求めよ.
(4) 各自然数 n に対し, ∫ 0un f⁡ (x) ⁢dx= 2⁢n となる数 u n を求めよ.
(5) 極限値 limn→ ∞ unn を求めよ.
2014-10161-0208
理(物理学科)学部
【1】 座標平面上の 2 点
P ( 3 2⁢ cos ⁡θ,sin ⁡θ) ,Q ( 32 , sin3⁡ θ)
を考える.ベクトル OP → と OQ → の内積を f ⁡(θ ) とする.ただし, O は原点である. θ が 0 ≦θ≦ π の範囲を動くとき,以下の各問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡を図示せよ.
(2) f⁡( θ) とその導関数 f ′⁡( θ) を求めよ.
(3) f⁡( θ) の最大値,最小値,およびそれらを与える θ の値を求めよ.
(4) 定積分 ∫0π 6 f ⁡(θ )cos ⁡θ ⁢ dθ を求めよ.
2014-10161-0209
【2】 n を 2 以上の自然数とし,曲線 Cn: y=fn ⁡( x)= x⁢ (x+ 1) n と x 軸で囲まれた部分の面積を a n とする.以下の各問に答えよ.
(1) 関数 fn⁡ (x ) の増減と極値を調べ,曲線 C n の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい.
(2) an を求めよ.
(3) Sn= a2+ a3+ ⋯+a n とするとき,極限値 limn→ ∞S n を求めよ.
2014-10161-0210
工学部
【1】 以下の各問に答えよ.解答用紙の所定の欄に答えのみを記入しなさい.
(1) 次の関数を微分せよ.ただし, e は自然対数の底である.
2014-10161-0211
(2) 次の定積分を求めよ.
2014-10161-0212
(3) 行列 A =( 1-3 1 -1 ) に対して, A11 =( ab cd ) とおく.このとき, a+b+ c+d の値を求めよ.ただし, A11 は A の 11 乗を表す.
2014-10161-0213
(4) 袋の中に赤玉 4 個,青玉 3 個,黒玉 2 個,白玉 1 個の合計 10 個の玉が入っている.この袋から 3 個の玉を同時に取り出すとき,取り出した 3 個の玉の色がすべて異なる確率を求めて既約分数で表せ.
2014-10161-0214
【2】 以下の文章の空欄にあてはまるもの(数,式など)を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.
2 つの変数 x , y は,連立不等式 x 2-8⁢ x+12≦ y≦2⁢ x-9 を満たしながら変化するものとする.このとき, x+y は最大値 ア をとり,最小値 イ をとる.
2014-10161-0215
【3】 以下の文章の空欄にあてはまるもの(数,式など)を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.
1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC がある. 0<t <1 を満たす実数 t に対して,辺 AB を t :1-t に内分する点を P , 辺 BC を t :1-t に内分する点を Q , 辺 CA を t2:1 -t2 に内分する点を R とする.三角形 PQR の面積を S ⁡(t ) とおくと, S⁡( t)= ウ となる.実数 t が 0 <t<1 の範囲を動くとき, S⁡( t) が最小となる t の値は エ であり,また,そのときの S ⁡(t ) の値は オ である.
2014-10161-0216
【4】 以下の文章の空欄にあてはまるもの(数,式など)を解答用紙の所定の欄に記入しなさい.
点 O を原点とする座標平面において,異なる 2 つの動点 A ,B があり,
OA= 43 かつ AB =2 3
を満たしながら動くものとする.さらに,図のように,線分 OA と x 軸の正の向きとのなす角を θ1 , 線分 OA の延長と線分 AB のなす角を θ 2 と定める.ただし,角の測り方は反時計回りを正の向きとする.
(1) θ1 = π4 かつ θ2= π 6 のとき.点 B の座標は カ である.
(2) 0≦θ 1<2 ⁢π かつ 0 ≦θ2 <2⁢ π とする.点 B の座標が ( 1,3 ) となるような θ 1 と θ 2 を求めると, θ1 = キ かつ θ2= ク , あるいは, θ1 = ケ かつ θ2= コ となる.ただし, キ < ケ とする.