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2014 筑波大学 前期

数学II分野

易□ 並□ 難□

【1】  f( x)= x3- x とする. y=f (x ) のグラフに点 P ( a,b ) から引いた接線は 3 本あるとする. 3 つの接点 A ( α,f (α )) B ( β,f (β )) C ( γ,f (γ )) を頂点とする三角形の重心を G とする.

(1)  α+β +γ α β+β γ+γ α および α β γ a b を用いて表せ.

(2) 点 G の座標を a b を用いて表せ.

(3) 点 G x 座標が正で, y 座標が負となるような点 P の座標を図示せよ.

2014 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の曲線 C y=x sinx +cosx -1 0<x< π に対して,以下の問いに答えよ.ただし 3 <π< 16 5 であることは証明なしで用いてよい.

(1) 曲線 C x 軸の交点はただ 1 つであることを示せ.

(2) 曲線 C x 軸の交点を A ( α,0 ) とする. α> 2 3 π であることを示せ.

(3) 曲線 C y 軸および直線 y =π 2-1 で囲まれる部分の面積を S とする.また, xy 平面の原点 O A および曲線 C 上の点 B ( π 2, π2 -1 ) を頂点とする三角形 OAB の面積を T とする. S<T であることを示せ.

2014 筑波大学 前期

数学III分野

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )=e -x2 2 x >0 で考える. y=f (x ) のグラフの点 ( a,f (a )) における接線を l a とし, la y 軸との交点を ( 0,Y (a )) とする.以下の問いに答えよ.ただし,実数 k に対して limt t ke -t =0 であることは証明なしで用いてよい.

(1)  Y( a) がとりうる値の範囲を求めよ.

(2)  0<a <b である a b に対して, la l b x 軸上で交わるとき, a のとりうる値の範囲を求め, b a で表せ.

(3) (2)の a b に対して, Z( a)= Y( a)- Y( b) とおく. lima +0 Z (a ) および lima +0 Z (a )a を求めよ.

2014 筑波大学 前期

数学B分野

易□ 並□ 難□

2014年筑波大前期【4】の図

【4】 平面上の直線 l に同じ側で接する 2 つの円 C1 C 2 があり, C1 C 2 も互いに外接している. l C 1 C2 で囲まれた領域内に,これら 3 つと互いに接する円 C 3 を作る.同様に l Cn Cn +1 n= 1 2 3 で囲まれた領域内にあり,これら 3 つと互いに接する円を C n+2 とする.円 C n の半径を r n とし, xn= 1 rn とおく.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, r1 =16 r 2=9 とする.

(1)  l C1 C 2 C3 と接する点を,それぞれ A1 A 2 A 3 とおく.線分 A1 A2 A 1A 3 A 2A 3 の長さおよび r 3 の値を求めよ.

(2) ある定数 a b に対して xn+2 =a xn+ 1+b xn n=1 2 3 となることを示せ. a b の値も求めよ.

(3) (2)で求めた a b に対して, 2 次方程式 t2=a t+b の解を α β α>β とする. x1 =cα 2+d β2 を満たす有理数 c d の値を求めよ.ただし, 5 が無理数であることは証明なしで用いてよい.

(4) (3)の c d α β に対して,

xn= cα n+1 +d βn+ 1 n=1 2 3

となることを示し,数列 { rn } の一般項を α β を用いて表せ.

2014 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【5】 実数を成分とする正方行列

A=( a bc d ) B=( 1 1- 12 ) E= (1 0 01 )

について,以下の問いに答えよ.

(1)  AB =BA を満たす A は,実数 x y を用いて A =xB +yE と表せることを示せ.

(2)  A3= E のとき

(t 2-Δ )A =(t Δ+1 )E

を示せ.ただし, t=a+ d Δ =ad- bc とする.

(3)  AB =BA かつ A3= E を満たす A をすべて求めよ.

2014 筑波大学 前期

数学C分野

易□ 並□ 難□

【6】  xy 平面上に楕円

C1 x2a 2+ y 29 =1 a>13

および双曲線

C2 x24 - y2 b2 =1 b>0

があり, C1 C 2 は同一の焦点をもつとする.また C 1 C 2 の交点 P ( 21 + t2b 2 ,t ) t> 0 における C1 C2 の接線をそれぞれ l1 l2 とする.

(1)  a b の間に成り立つ関係式を求め,点 P の座標を a を用いて表せ.

(2)  l1 l 2 が直交することを示せ.

(3)  a a >13 を満たしながら動くときの点 P の軌跡を図示せよ.

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

 社会学類 【1】【4】必須

 国際総合学類 数学II・B選択者 【1】【4】必須

 国際総合学類 数学III・C選択者 【2】【3】から1題,【5】【6】から1題選択

人間学群

 教育学類,障害科学類

  数学II・数学B選択者 【1】【4】必須

  数学III選択者 【2】【3】必須

  数学C選択者 【5】【6】必須

 心理学類 【1】【4】必須,【2】【3】【5】【6】から2題選択

生命環境学群

 生物学類,生物資源学類 【1】【3】必須,【4】【6】から2題選択

 地球学類 【2】【3】【5】【6】必須,【1】【4】から1題選択

理工学群

 数学類,物理学類,化学類

   【2】【3】【5】【6】必須,【1】【4】から1題選択

 応用理工学類,工学システム学類

   【2】【3】必須,【1】【4】【6】から3題選択

 社会工学類

   【2】【3】必須,【1】【4】から1題,【5】【6】から1題選択

情報学群

 情報科学類,情報メディア創成学類

   【2】【3】【5】【6】必須, 【1】【4】から1題選択

 知識情報・図書館学類 【1】【3】から1題選択,【4】【6】から1題選択

医学群(医学類・医療科学類) 【1】【3】必須,【4】【6】から2題選択

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