2014　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　自然数$m$に対して$f(m)$を$m$の各桁の数を足し合わせた数とする．例えば，$f(537)=5+3+7=15$である．

(1)　$f(m)\leqq m$を示せ．また$f(m)=m$をみたす$m$をすべて求めよ．

(2)　$m$が$3$の倍数なら，$f(m)$も,$3$の倍数であることを示せ．

(3)　$k$を$2013$桁の自然数とし，数列$\{a_n\}$を次の漸化式で定める．

$a_1=k\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき$a_5$が$1$桁の自然数になることを示せ．さらに$k$が$3$の倍数であるとき$a_5$が取り得る数をすべて挙げよ．

【２】　$m\text{，}n$を自然数とする．$1$から$m$までの番号がついた合計$m$枚のカードを$n$人に配り，どの人にも少なくとも$1$枚のカードが配られるようにする．このような配り方の総数を$S(m,n)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$m\geqq 2$とする．$1$から$m$までの番号がついた合計$m$枚のカードを$n$人に配る方法のうち，どの人にも$1$から$m-1$までのカードのどれかが配られるような配り方の総数を，$S(m-1,n)$を用いて表せ．

(2)　$m\geqq 2\text{，}n\geqq 2$とする．

$S(m,n)=nS(m-1,n)+nS(m-1,n-1)$

が成り立つ理由を説明せよ．

(3)　$m\geqq 2$に対して，$S(m,2)$を求めよ．

【３】　関数の列$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}\text{2}\text{，}\cdots \text{）}$が，$x>0$において関係式

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{f}_{n-1}(y)\log ydy\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

$f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1+\log x$

のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to 1}{\lim }{f}_0(x)$を求めよ．

(2)　$x>0$の範囲で$f_1(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$x>0$の範囲で$f_n(x)\geqq 0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．