2014　筑波大学　推薦医学群医学類MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$について，次の問いに答えなさい．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$である．

問１　${(A+kE)}^2=O$をみたす実数$k$の値を求めなさい．

問２　問１で求めた$k$を用いて$A+kE=B$とおくとき，$A^2\text{，}{A}^3\text{，}{A}^4$を，$B$と$E$を用いて表しなさい．

問３　$A^n$を求めなさい．

【２】　$1$から$6$までの目がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で出るサイコロを$n$回振り，出た目を順に，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$とする．これらの積$I_n=x_1{x}_2\cdots x_n$が$15$の倍数になる確率を$P_n$とおくとき，次の問いに答えなさい．

問１　$P_2$を求めなさい．

問２　$P_n$を求めなさい．

【３】　一辺の長さ$a$の立方体$C$があり，この立方体$C$のすべての頂点から等距離にある点を$\mathrm{O}$とする．また点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球$Q$を考える．このとき球$Q$と立方体$C$の位置関係は，球の半径$r$の長さに応じて，球$Q$が立方体$C$の内部あるいはその面上に含まれる状態$S_1\text{，}$球$Q$が立方体$C$を内部あるいはその面上に含む状態$S_2\text{，}$およびそのどちらでもない状態$S_3$の$3$つの場合となる．このとき次の問いに答えなさい．

問１　状態$S_1\text{，}{S}_2$になるのはどのような場合か．それぞれについて$r$の範囲を$a$を用いて表しなさい．

問２　状態$S_3$のとき，球$Q$の一部は立方体$C$の外部にある（$C$からはみ出す）．このとき，球$Q$の立方体$C$からはみ出した部分の体積と，立方体$C$の中で球$Q$に含まれない部分の体積が等しくなるとき，$r$と$a$について，${\displaystyle \frac{r^3}{a^3}}$を求めなさい．

問３　状態$S_3$のとき，球$Q$の立方体$C$からはみ出した部分の体積が，立方体$C$の中で球$Q$に含まれない部分の体積の${\displaystyle \frac{3}{2}}$倍になるとき，$r$を$a$を用いて表しなさい．