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2014-10201-0101
2014 群馬大学 前期
教育(数学・技術),社会情報,理工,医学部
易□ 並□ 難□
【1】 a1 , a2 , a3 ,b 1 ,b 2 ,b3 をそれぞれ 1 から 9 までの整数とし, a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 の中に同じ数がいくつあってもよいとする. {a 1a2 a3 } は 3 桁けた の整数 a1× 100+a2 ×10+ a3× 1 を表し, {b 1b2 b3 } は 3 桁の整数 b1× 100+b2 ×10+ b3× 1 を表し, {b 1b2 b3 26} は 5 桁の整数 b1× 10000+b 2×1000 +b3 ×100+2 ×10+ 6×1 を表すとする.
p , q , r を次の条件とする.
p : {a 1a2 a3 }-1 は 50 で割り切れる. q : {b 1b2 b3 26} は { a1 a2a 3 } の 26 倍である. r : {b 1b2 b3 } は整数の 2 乗ではない.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 命題「 q ⟹p 」が真であれば証明し,偽であれば反例をあげよ.
(2) 条件 q を満たす組 ( a1, a2, a3, b1, b2, b3 } は何組あるか.
(3) 命題「 q⟹ r 」が真であれば証明し,偽であれば反例をあげよ.
2014-10201-0102
教育(数学・技術),社会情報学部
【2】 一辺の長さを 1 とする立方体 ABCD ‐EFGH があり,辺 BF 上に点 P と辺 DH 上に点 Q を BP =DQ= 34 となるようにとる.点 A ,P , Q を含む平面と直線 CG の交点を R とする.また,直線 PR と辺 FG の交点を S とし,直線 QR と辺 GH の交点を T とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 四面体 SGTR の体積を求めよ.
(2) ▵PFS , ▵QTH , 四角形 FSTH , 四角形 PSTQ および四角形 PFHQ で囲まれた図形の体積を求めよ.
2014-10201-0103
教育(数学・技術),社会情報,理工学部
【3】 座標平面において,動点 P ( x,y ) は単位円 C 上の点 Q ( 1,0 ) を出発し, C 上を反時計回りに 1 周する.弧 PQ の長さは,出発してからの時刻に比例する. P が 1 周するのに T 秒かかる.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 出発してから t 秒後( 0 ≦t≦T )の点 P ( x,y ) について x , y を t と T を用いて表せ.
(2) 出発してから t 秒後 (0 ≦t≦ T 4 ) の点 P ( x,y ) に対して z =2⁢ x2+ x⁢y+ y2 を考える. z の最大値と最小値を求めよ.また最大値,最小値をとるのは出発してから何秒後か T を用いて表せ.
2014-10201-0104
教育(数学・技術),理工学部
【4】 曲線 y =log⁡x 上の点 P ( 1,0 ) における接線と y 軸の交点を Q とする. Q を通り x 軸に平行な直線と曲線 y =log⁡x の交点を R とする.ここで,対数は自然対数である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 R の座標を求めよ.
(2) 線分 PR と曲線 y =log⁡x で囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ.
2014-10201-0105
【5】 座標平面において, 4 直線 y =2 ,y= -4 ,x= -3 ,x= 5 上にそれぞれ点 A ,B , C , D をとる.この 4 点を頂点とする四角形が ∠ ABC= π2 となる正方形であるとき,点 A ,B , C ,D の座標を求めよ.
2014-10201-0106
教育(自然・情報系)学部
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 3 次方程式 x 3-3 ⁢x+1 =0 は相異なる 3 つの実数解をもつことを示せ.
(2) x3 -3⁢x +1=0 の解で最小のものを α , 最大のものを β とする.このとき,次の定積分の値を求めよ.
∫ αβ |x 2-1 | ⁢dx
2014-10201-0107
【2】 k を自然数とする.数列 { an } において,初めの k 項の和を T1 , 次の k 項の和を T 2 , その次の k 項の和を T 3 とし,以下同様に T4 ,T 5 ,⋯ を定めるとき,次の問いに答えよ.
(1) {a n} が等比数列で k =4 とする. T1 =5 ,T 2=80 のとき, {a n} の一般項を求めよ.ただし,公比は実数とする.
(2) {a n} が等差数列ならば { Tn } も等差数列であることを証明せよ.
2014-10201-0108
社会情報,理工学部
理工学部は【2】
【4】 p を正の実数とする.放物線 y =3⁢x 2-p⁢ x+1 と x 軸で囲まれた図形の面積が 427 であるとき, p の値を求めよ.
2014-10201-0109
医学部
【2】 a ,b は実数で a >0 ,b> 1 とする.放物線 y =a⁢x 2+1 と直線 y =b との交点で第 1 象限にあるものを P1 とし,放物線 y =1 2⁢ x2 と直線 y =b の交点で第 1 象限にあるものを P2 とする. P1 と P2 の間の距離を d とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) a= 12 のとき, d≦1 であるための b の値の範囲を求めよ.
(2) a≠ 12 のとき, d≦1 であるための b の値の範囲を a を用いて表せ.
2014-10201-0110
【3】 n を自然数とする. 5832 を底とする n の対数 log5832⁡ n が有理数であり 12 <log 5832⁡n <1 を満たすとき, n を求めよ.
2014-10201-0111
【4】 座標平面上の曲線 C は媒介変数 t ( t ≧0 )を用いて x =t2 +2⁢t +log⁡( t+1 ), y=t2 +2⁢t -log⁡( t+1 ) と表される. C 上の点 P ( a,b ) における C の接線の傾きが 2⁢e- 12⁢ e+1 であるとする.ただし, e は自然対数の底である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a と b の値を求めよ.
(2) Q を座標 ( a,b ) の点とする.直線 PQ , 直線 y =x と曲線 C で囲まれた図形を,直線 y =x の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.