2014　群馬大学　前期MathJax

【１】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$\{a_1{a}_2{a}_3\}$は$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数$a_1\times 100+a_2\times 10+a_3\times 1$を表し，$\{b_1{b}_2{b}_3\}$は$3$桁の整数$b_1\times 100+b_2\times 10+b_3\times 1$を表し，$\{b_1{b}_2{b}_{3}26\}$は$5$桁の整数$b_1\times 10000+b_2\times 1000+b_3\times 100+2\times 10+6\times 1$を表すとする．

　$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}\text{，}\mathrm{r}$を次の条件とする．

$\mathrm{p}$：$\{a_1{a}_2{a}_3\}-1$は$50$で割り切れる．$\mathrm{q}$：$\{b_1{b}_2{b}_{3}26\}$は$\{a_1{a}_2{a}_3\}$の$26$倍である．$\mathrm{r}$：$\{b_1{b}_2{b}_3\}$は整数の$2$乗ではない．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　命題「$\mathrm{q}⟹\mathrm{p}$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．

(2)　条件$\mathrm{q}$を満たす組$(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\}$は何組あるか．

(3)　命題「$\mathrm{q}⟹\mathrm{r}$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．

【２】　一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{DQ}={\displaystyle \frac{3}{4}}$となるようにとる．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また，直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PFS}\text{，}▵\mathrm{QTH}\text{，}$四角形$\mathrm{FSTH}\text{，}$四角形$\mathrm{PSTQ}$および四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．

【３】　座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時刻に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　出発してから$t$秒後（$0\leqq t\leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,y)$について$x\text{，}y$を$t$と$T$を用いて表せ．

(2)　出発してから$t$秒後$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{T}{4}})$の点$\mathrm{P}(x,y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

【４】　曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【５】　座標平面において，$4$直線$y=2\text{，}y=-4\text{，}x=-3\text{，}x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3-3x+1=0$は相異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$x^3-3x+1=0$の解で最小のものを$\alpha \text{，}$最大のものを$\beta$とする．このとき，次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\alpha }}^{\beta }}|x^2-1|dx$

【２】　$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$において，初めの$k$項の和を$T_1\text{，}$次の$k$項の和を$T_2\text{，}$その次の$k$項の和を$T_3$とし，以下同様に$T_4\text{，}{T}_5\text{，}\cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする．$T_1=5\text{，}{T}_2=80$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．

(2)　$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ．

【４】　$p$を正の実数とする．放物線$y=3x^2-px+1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{4}{27}}$であるとき，$p$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$は実数で$a>0\text{，}b>1$とする．放物線$y=a{x}^2+1$と直線$y=b$との交点で第$1$象限にあるものを${\mathrm{P}}_1$とし，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と直線$y=b$の交点で第$1$象限にあるものを${\mathrm{P}}_2$とする．${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$の間の距離を$d$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$d\leqq 1$であるための$b$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$d\leqq 1$であるための$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．

【３】　$n$を自然数とする．$5832$を底とする$n$の対数${\log }_{5832}n$が有理数であり${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\log }_{5832}n<1$を満たすとき，$n$を求めよ．

【４】　座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t$（$t\geqq 0$）を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)\text{，}y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,b)$における$C$の接線の傾きが${\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}$を座標$(a,b)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}\text{，}$直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．