2014　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　正の整数$n$に対して，半径$1$の円に内接する正$4n$角形の面積を$S_n$とし，外接する正$4n$角形の面積を$T_n$とする．このとき，$S_n>0.95T_n$となる最小の数$n$を求めよ．

【２】　直角三角形でない三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対応する角の大きさを$A\text{，}B\text{，}C$で表すことにする．このとき，次の$3$つの等式が成り立つことを証明せよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B\sin C}}=1-{\displaystyle \frac{1}{\tan B\tan C}}$

(2)　$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$

(3)　${\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B\sin C}}+{\displaystyle \frac{\cos B}{\sin C\sin A}}+{\displaystyle \frac{\cos C}{\sin A\sin B}}=2$

【３】　南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{B}}_0\text{，}{\mathrm{C}}_0\text{，}{\mathrm{D}}_0\text{，}{\mathrm{E}}_0$であり，北の端点は，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれたとなりの線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$\mathrm{D}$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．

(1)　同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合

(2)　同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合

【４】　関数$f_0(x)\text{，}{f}_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}{f}_4(x)$は，$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$に対して，$f_n(0)$が$0$に一致しないときか一致するときかという場合に応じて$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$から定める関係式

$f_{n+1}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}_n(x)& \text{（}{f}_n(0)\ne 0\text{）}\\ {\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt+1& \text{（}{f}_n(0)=0\text{）}\end{array}$

をみたしているとする．

(1)　$f_0(x)=x$のとき，$f_4(x)$を求めよ．

(2)　$f_1(x)=0$ならば，$f_0(x)$は定数であることを証明せよ．

(3)　$f_2(x)=0$ならば，$f_0(x)=ax+b$（$a\text{，}b$は定数）と表されることを証明せよ．