2014　千葉大学　前期MathJax

【１】　右図のような$1$辺の長さ$10\mathrm{cm}$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1\mathrm{cm}$進む．また，点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$2\mathrm{cm}$進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$▵\mathrm{PQR}$の面積が$35{\mathrm{cm}}^2$となる時刻をすべて求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$とするとき，次の等式が成り立つとする．

${\displaystyle \frac{\sin A}{5}}={\displaystyle \frac{\sin B}{3}}$

また，$A\text{，}B\text{，}C$のうち最も大きな角は$120\mathrm{°}$であるとする．このとき，$\cos A\text{，}\cos B\text{，}\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．

(1)　$N$は$48$の倍数であることを示せ．

(2)　$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．

・初めに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．

・$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．

・袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．

・$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$が$0$勝$0$敗$4$引き分けをしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が$1$勝$1$敗$2$引き分けをしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$がゲームの勝者になる確率を求めよ．

【５】　袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0\leqq A\leqq N$）取り出す確率を$p(N,A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　確率$p(N,A)$を$N$と$A$を用いて表せ．

(2)　$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,0)\text{，}p(10n,1)\text{，}\cdots \text{，}p(10n,10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(ⅰ)　$0$以上の整数$a\text{，}$自然数$b$に対して，${\displaystyle \frac{b!}{a!}}\leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ⅱ)　$0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，${\displaystyle \frac{p(10n,m)}{p(10n,3n)}}\leqq 1$を示す．

【６】　座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta ,\sin \theta )(\text{ただし}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

【７】　実数$a$に対し，関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|t+1|dt+a$を考える．曲線$C\text{：}y=f(x)$が$x$軸と$2$個の共有点を持つための$a$の範囲を求めよ．またこのとき曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【８】　座標平面上に，円$C\text{：}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2=1$と点$\mathrm{Q}(1,2)$がある．点${\mathrm{P}}_1$の座標を$(3,0)$とし，$x$軸上の点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$を以下の条件によって決め，${\mathrm{P}}_n$の座標を$(p_n,0)$とする．

点${\mathrm{P}}_n$から円$C$に接線を引き，その$y$座標が正である接点を${\mathrm{T}}_n$とする．このとき，$3$点$\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{T}}_n\text{，}{\mathrm{P}}_{n+1}$は同一直線上にある．（$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$）

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{T}}_1$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(3)　点${\mathrm{T}}_n$の座標を$p_n$の式で表せ．

(4)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を$n$の式で表せ．

【９】　$n\text{，}m$を$0$以上の整数とし，

$I_{n,m}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^n\theta {\sin }^m\theta d\theta$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．

(2)　次の式

$I_{2n+1,2m+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{(1-x)}^{m}dx$

を示せ．

(3)　次の式

${\displaystyle \frac{n!m!}{(n+m+1)!}}={\displaystyle \frac{{}_{m}C_0}{n+1}}-{\displaystyle \frac{{}_{m}C_1}{n+2}}+\cdots +{(-1)}^m{\displaystyle \frac{{}_{m}C_m}{n+m+1}}$

を示せ．ただし$0!=1$とする．

【10】　関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2\cos x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　$x\geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x\geqq f(x)$が成り立つことを示せ．

【11】　関数$f(x)=x^x\text{（}x>0\text{）}$と正の実数$a$について，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$における$f(x)f(1-x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$における${\displaystyle \frac{f(x)f(1-x)f(a)}{f(ax)f(a(1-x))}}$の最小値を求めよ．

【12】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t>0$のとき

$e^t>1+t+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+{\displaystyle \frac{t^3}{6}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　座標平面上の点$(0,a)$を通って曲線$y=x{e}^x$に何本の接線が引けるか求めよ．

【13】　自然数$n$に対して，和

$S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$

を考える．

(1)　各自然数$n$に対して$2^k\leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n\text{，}{b}_n$が存在して

$S_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^{f(n)}{b}_n}}$

と表されることを示せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．

(3)　さらに，自然数$m\text{，}n\text{（}m<n\text{）}$に対して，和

$S_{m,n}={\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{m+1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$

を考える．$S_{m,n}$はどんな$m\text{，}n\text{（}m<n\text{）}$に対しても整数にならないことを示せ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部（算数科選修，技術科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　文学部（行動科学科），教育学部（情報教育分野），法経学部，園芸学部，

　先進科学プログラム　（物理化学・生命化学，人間科学）

　　【１】，【４】，【６】，【７】

教育学部（数学科教育分野）　【１】，【２】，【３】，【４】，【６】，【７】

数学I数学II数学III数学A数学B

先進科学プログラム（物理，電気電子，ナノサイエンス，画像，情報画像）

　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】

数学I数学II数学III数学A数学B数学C

理学部（物理，化学，生物，地球科学科），薬学部，工学部

　【５】，【６】，【８】，【９】，【10】

医学部【５】，【６】，【10】，【11】，【13】

理学部（数学・情報数理学科）　【５】，【６】，【８】，【10】，【12】，【13】