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2014-10262-0101
2014 東京医科歯科大学 前期
医・歯・保健衛生(検査技術)学科共通
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 n に対し, 3 個の数字 1 , 2 ,3 から重複を許して n 個並べたもの ( x1, x2, ⋯, xn ) の全体の集合を Sn とおく. Sn の要素 ( x1, x2, ⋯,x n) に対し,次の 2 つの条件を考える.
条件 C 12:1 ≦i<j ≦n である整数 i , j の組で, xi= 1 ,x j=2 を満たすものが少なくとも 1 つ存在する.
条件 C 123: 1≦i< j<k≦ n である整数 i , j ,k の組で, xi =1 ,x j=2 , x3 =3 を満たすものが少なくとも 1 つ存在する.
例えば, S4 の要素 ( 3,1, 2,2 ) は条件 C 12 を満たすが,条件 C 123 は満たさない.
Sn の要素 ( x1, x2, ⋯,x n) のうち,条件 C 12 を 満・ た・ さ・ な・ い・ ものの個数を f ⁡(n ) ,条件 C 123 を 満・ た・ さ・ な・ い・ ものの個数を g ⁡(n ) とおく.このとき以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( 4) と g ⁡(4 ) を求めよ.
(2) f⁡( n) を n を用いて表せ.
(3) g⁡( n+1 ) を g ⁡(n ) と f ⁡(n ) を用いて表せ.
(4) g⁡( n) を n を用いて表せ.
2014-10262-0102
【2】 0<θ < π2 を満たす実数 θ に対し, xyz 空間内の 4 点 A ( cos⁡θ, cos⁡θ, sin⁡θ ), B (- cos⁡θ, -cos⁡θ ,sin⁡θ ), C (cos ⁡θ,- cos⁡θ, -sin⁡θ ), D (- cos⁡θ, cos⁡θ, -sin⁡θ ) を頂点とする四面体の体積を V ⁡(θ ), この四面体の x z 平面による切り口の面積を S ⁡(θ ) とする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) S⁡( π 6 ), V⁡ ( π6 ) をそれぞれ求めよ.
(2) 0<θ < π2 における S ⁡(θ ) の最大値を求めよ.
(3) 0<θ < π2 における V ⁡(θ ) の最大値を求めよ.
2014-10262-0103
医学科
歯・保健衛生(検査技術)学科【3】の類題
【3】 a を正の実数, k を自然数とし, x>0 で定義される関数
f⁡( x)= ∫ aa⁢x k +uk k⁢u ⁢ du
を考える.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の増減および凹凸を調べ, y=f⁡ (x ) のグラフの概形をかけ.
(2) S を正の実数とするとき, f⁡( p)= S を満たす実数 p がただ 1 つ存在することを示せ.
(3) b= kk+ ak とおくとき,(2)の S , p について,次の不等式が成立することを示せ.
1+b⁢ S<p< eb⁢ S
2014-10262-0104
歯・保健衛生(検査技術)学科
医学科【3】の類題
(2) y=f⁡ (x ) の x =1 における接線の方程式を求めよ.
(3) S を正の実数とするとき, f⁡( p)= S を満たす実数 p がただ 1 つ存在することを示せ.
(4) b= kk+ ak とおくとき,(3)の S , p について,次の不等式が成立することを示せ.