2014　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　自然数$n$に対し，$3$個の数字$1\text{，}2\text{，}3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$の全体の集合を${\mathrm{S}}_n$とおく．${\mathrm{S}}_n$の要素$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$に対し，次の$2$つの条件を考える．

条件${\mathrm{C}}_{12}\text{：}1\leqq i<j\leqq n$である整数$i\text{，}j$の組で，$x_i=1\text{，}{x}_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．

条件${\mathrm{C}}_{123}\text{：}1\leqq i<j<k\leqq n$である整数$i\text{，}j\text{，}k$の組で，$x_i=1\text{，}{x}_j=2\text{，}{x}_3=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．

例えば，${\mathrm{S}}_4$の要素$(3,1,2,2)$は条件${\mathrm{C}}_{12}$を満たすが，条件${\mathrm{C}}_{123}$は満たさない．

　${\mathrm{S}}_n$の要素$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$のうち，条件${\mathrm{C}}_{12}$を$\stackrel{\text{・}}{\text{満}}\stackrel{\text{・}}{\text{た}}\stackrel{\text{・}}{\text{さ}}\stackrel{\text{・}}{\text{な}}\stackrel{\text{・}}{\text{い}}$ものの個数を$f(n)$，条件${\mathrm{C}}_{123}$を$\stackrel{\text{・}}{\text{満}}\stackrel{\text{・}}{\text{た}}\stackrel{\text{・}}{\text{さ}}\stackrel{\text{・}}{\text{な}}\stackrel{\text{・}}{\text{い}}$ものの個数を$g(n)$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$f(4)$と$g(4)$を求めよ．

(2)　$f(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)　$g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ．

(4)　$g(n)$を$n$を用いて表せ．

【２】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$\theta$に対し，$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(\cos \theta ,\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{B}(-\cos \theta ,-\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\cos \theta ,-\cos \theta ,-\sin \theta )\text{，}\mathrm{D}(-\cos \theta ,\cos \theta ,-\sin \theta )$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta )\text{，}$この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta )$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$S\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\text{，}V\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$S(\theta )$の最大値を求めよ．

(3)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$V(\theta )$の最大値を求めよ．

【３】　$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_a^{ax}}{\displaystyle \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}}du$

を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　$b={\displaystyle \frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}}$とおくとき，(2)の$S\text{，}p$について，次の不等式が成立することを示せ．

$1+bS<p<e^{bS}$

【３】　$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_a^{ax}}{\displaystyle \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}}du$

を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．

(4)　$b={\displaystyle \frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}}$とおくとき，(3)の$S\text{，}p$について，次の不等式が成立することを示せ．

$1+bS<p<e^{bS}$