2014　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　自然数$n$に対し，整式${(x^2+x+1)}^n$を整式$x^3+x^2-x-1$で割ったときの余りを$a_n{x}^2+b_{n}x+c_n$とする．このとき，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

【２】　平面上に異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}\mathrm{B}(\overrightarrow{b})\text{，}\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$がある．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})\text{，}\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とする．さらに線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}(\overrightarrow{r})$とする．$t={\displaystyle \frac{m}{m+n}}\text{（}0<t<1\text{）}$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対し，上のように点$\mathrm{R}$をとる．直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{R}$は，点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ．

【３】　$0<x<2\pi$のとき，$y=2\sin x$のグラフと$y=a-\cos 2x$のグラフが接するように定数$a$の値を定め，そのときの$2$つのグラフをかけ．ただし，$2$つのグラフがある共有点で共通の接線をもつとき，これらのグラフは接するという．

【４】　$f(x)$を区間$[0,1]$で定義された連続な関数とする．このとき，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^1}[2f(x)\log (x+1)-{\{f(x)\}}^2]dx$

について下の問いに答えよ．

(1)　$I$の値を最大にするような$f(x)$を求めよ．

(2)　$I$の最大値を求めよ．