2014　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$r\text{，}s$は実数で，$r>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{D}(r,r,r)$がある．さらに，点$\mathrm{E}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

で定まる点とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．

(3)　(2)の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|=r\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ a& b\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)$が

$AB=\left(\begin{array}{cc}10& 5\\ 5& 0\end{array}\right)$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　$m\text{，}n$は実数で，$m\ne 0\text{，}n\ne 0$とする．座標平面上の$2$点${\mathrm{S}}_1(m,0)\text{，}{\mathrm{S}}_2(0,n)$をとり，行列$A$が表す$1$次変換によって${\mathrm{S}}_1\text{，}{S}_2$が移る点をそれぞれ${{\mathrm{S}}_1}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{S}}_2}^{\prime }$とする．$2$点${{\mathrm{S}}_1}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{S}}_2}^{\prime }$を通る直線が$2$点${\mathrm{S}}_1\text{，}{\mathrm{S}}_2$を通る直線に一致するとき，$n$を$m$の式で表せ．

(3)　$2$点${\mathrm{T}}_1(-7,0)\text{，}{\mathrm{T}}_2(0,7)$を通る直線を$l$とする．行列$B$が表す$1$次変換によって${\mathrm{T}}_1\text{，}{\mathrm{T}}_2$が移る点をそれぞれ${{\mathrm{T}}_1}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{T}}_2}^{\prime }$とし，$2$点${{\mathrm{T}}_1}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{T}}_2}^{\prime }$を通る直線を$l^{\prime }$とする．原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$と$l$が異なる$2$点で交わり，かつ$C$と$l^{\prime }$も異なる$2$点で交わるとする．このような$r$の値の範囲を求めよ．

(4)　(3)において，円$C$が$l$を切り取る線分の長さを$L$とし，円$C$が$l^{\prime }$を切り取る線分の長さを$L^{\prime }$とする．このような$L\text{，}{L}^{\prime }$の中で，$L$が最も小さい自然数になるときの$L^{\prime }$の値を求めよ．

【３】　$e$は自然対数の底とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$3$点

$\mathrm{A}(e^{-\theta }+\sqrt{3},e^{-\theta })\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\sqrt{3},0)$

がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta )$とする．$F(\theta )$を求めよ．

(2)　$F(\theta )$の導関数を$F^{\prime }(\theta )$とする．区間$0<\theta <2\pi$において$F^{\prime }(\theta )=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．区間$2(n-1)\pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta )$の最大値，最小値をそれぞれ${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n$とする．${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対して，$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$とおく．$S$の値を求めよ．

【４】　$p$を正の実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}\{p-\log (1+\left|t\right|)\}dt$

について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$xy$平面の曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と$2$点で交わるような，$p$の値の範囲を求めよ．