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2014 東京農工大学 後期工学部

物理・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

2014年東京農工大後期工学部物理・数学【1】2014102650201の図

図1-1

【1】  x0 の範囲で定義される図1-1の二つの曲線

y=a xc a> 0 c> 1

y=b x1c b>0 c> 1

に関する以下の問いに答えよ.ただし,二つの曲線の原点以外での交点を P ( s,t ) s>0 t>0 とする.また, a b c s t は実数とし,二つの曲線で囲まれる面積を A とする.

(1)  a=b のときの点 P の座標 ( s,t ) s>0 t>0 を求めよ.答えのみでよい.

(2)  y=a xc および y =0 x =s s>0 で囲まれる部分の面積を求めよ.答えのみでよい.

(3) 二つの曲線のパラメータ a b s t c を用いて表せ.答えのみでよい.

(4) 面積 A s t c を用いて表せ.ただし,できる限り簡単な形で表すこと.答えを導く過程も記すこと.

(5) 点 P の座標が s2+ t2= 1 0<s< 1 0 <t< 1 を満たすとき,面積 A の最大値を c を用いた式で表せ.また,そのときの点 P の座標も求めよ.答えを導く過程も記すこと.

2014 東京農工大学 後期工学部

物理・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上に原点 O と異なる任意の 2 P ( x1, y1 ) Q (x 2,y 2) がある.ただし, P Q は異なる点である. A=( a bc a ) a0 の表す 1 次変換によって,点 P が点 P に,点 Q が点 Q に移るとする.また,正の定数 n があって,どんな点 P と点 Q に対しても線分 PQ の長さの n 倍が線分 P Q の長さと等しくなるとき,以下の問いに答えよ.

(1) 線分 P Q の長さを点 P と点 Q の座標,および a b c のみを用いて表せ.答えのみでよい.

(2)  a2 +b2 a2 +c2 の値を n を用いて表せ.答えを導く過程も記せ.

(3)  a2 -bc の値を n を用いて表せ.答えのみでよい.

(4)  OP OQ であるとき, OP OQ であることを証明せよ.

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化学・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

【1】 次の問([1],[2]に答えなさい.

[1] 次の連立方程式を解きなさい.ただし,解答を導く過程も記しなさい.

{ 6x =2x +y 16x +1= 3y- 2

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化学・数学のうちの数学

易□ 並□ 難□

【1】 次の問[1],[2]に答えなさい.

[2] 濃度が異なる化合物 S 2 種類の溶液があり,それぞれ,容器Ⅰと容器Ⅱに入っている.両溶液の体積は等しい.次の作業(ア)または(イ)のいずれか一方を n 回繰り返すことにより,両溶液の混合を行った.

作業(ア) 容器Ⅰ内の溶液の一部(ある割合 p 0< p<1 )と容器Ⅱ内の溶液の一部 p を別々に採取した後,それぞれを他方の容器Ⅱ,Ⅰの溶液に加える.

作業(イ) 容器Ⅰ内の溶液の一部(ある割合 q 0<q< 1 )を採取してこれを容器Ⅱ内の溶液に加え,次に容器Ⅱ内の溶液の一部 q1+q を採取して容器Ⅰ内の溶液に加える.

 混合により溶液が容器からあふれることはなく,また,溶液の濃度はただちに均一になるものとする.次の問(1)〜(5)に答えなさい.

(1)  n 回目の作業(ア)を終えたときの容器Ⅰ内の S の濃度を an 容器Ⅱ内の S の濃度を b n として, an+ 1 および b n+1 a n b n を用いて表しなさい.

(2)  1 回目の作業(ア)を行う前の,容器Ⅰ,Ⅱ内の S の初期濃度を a0 b0 として, an b n を求めなさい.解答を導く過程も記述しなさい.

(3)  n 回目の作業(イ)を終えたときの容器Ⅰ内の S の濃度を cn 容器Ⅱ内の S 内の濃度を d n として, cn+ 1 および d n+1 c n d n を用いて表しなさい.

(4)  1 回目の作業(イ)を行う前の,容器Ⅰ,Ⅱ内の S の初期濃度を c0 d0 として, cn d n を求めなさい.解答を導く過程も記述しなさい.

(5) 数列 { an } { bn } { cn} { dn } について,それぞれ,収束,発散を調べ,収束する場合はその理由を述べ,極限値を求めなさい.

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