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2014-10267-0101
望星塾さんの解答(PDF1頁3行目)へ
2014 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 3 以上の奇数 n に対して, an と b n を次のように定める.
an= 16 ⁢ ∑k= 1n- 1( k-1) ⁢k⁢ (k+ 1) ,b n= n2- 18
(1) an と b n はどちらも整数であることを示せ.
(2) an -bn は 4 の倍数であることを示せ.
2014-10267-0102
望星塾さんの解答(PDF2頁16行目)へ
【2】 a>1 とし,次の不等式を考える.
(*) et- 1t ≧et a
(1) a=2 のとき,すべての t >0 に対して上の不等式(*)が成り立つことを示せ.
(2) すべての t >0 に対して上の不等式(*)が成り立つような a の範囲を求めよ.
2014-10267-0103
望星塾さんの解答(PDF4頁9行目)へ
【3】 1 個のさいころを投げて,出た目が 1 か 2 であれば行列 A =( 01 -1 0 ) を,出た目が 3 か 4 であれば行列 B =( 0-1 1 0 ) を,出た目が 5 か 6 であれば行列 C =( -10 0 1 ) を選ぶ.そして,選んだ行列の表す 1 次変換によって x y 平面上の点 R を移すという操作を行う.点 R は最初は点 ( 0,1 ) にあるものとし,さいころを投げて点 R を移す操作を n 回続けて行ったときに点 R が点 ( 0,1 ) にある確率を pn , 点 ( 0,-1 ) にある確率を q n とする.
(1) p1 , p2 と q1 ,q 2 を求めよ.
(2) pn+ qn と pn-1 +q n-1 の関係式を求めよ.また, pn -qn と pn-1 -q n-1 の関係式を求めよ.
(3) pn を n を用いて表せ.
2014-10267-0104
望星塾さんの解答(PDF6頁15行目)へ
【4】 点 P ( t,s ) が s =2⁢ t2- 2⁢t を満たしながら x y 平面上を動くときに,点 P を原点を中心として 45 ⁢° 回転した点 Q の軌跡として得られる曲線を C とする.さらに,曲線 C と x 軸で囲まれた図形を D とする.
(1) 点 Q ( x,y ) の座標を, t を用いて表せ.
(2) 直線 y =a と曲線 C がただ 1 つの共有点を持つような定数 a の値を求めよ.
(3) 図形 D を y 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V を求めよ.
2014-10267-0105
望星塾さんの解答(PDF9頁1行目)へ
【5】 xy 平面上の曲線 C :y= x3+ x2+1 を考え, C 上の点 ( 1,3 ) を P0 とする. k=1 , 2 ,3 , ⋯ に対して,点 P n-1 ( xk-1 ,y k-1 ) における C の接線と C の交点のうちで P k-1 と異なる点を Pk ( xk, yk ) とする.このとき, P k-1 と Pk を結ぶ線分と C によって囲まれた部分の面積を S k とする.
(1) S1 を求めよ.
(2) xk を k を用いて表せ.
(3) ∑k= 1∞ 1 Sk を求めよ.