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2014 東京工業大学 前期

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】  3 以上の奇数 n に対して, an b n を次のように定める.

an= 16 k= 1n- 1( k-1) k (k+ 1) b n= n2- 18

(1)  an b n はどちらも整数であることを示せ.

(2)  an -bn 4 の倍数であることを示せ.

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配点60点

易□ 並□ 難□

【2】  a>1 とし,次の不等式を考える.

(*)  et- 1t et a

(1)  a=2 のとき,すべての t >0 に対して上の不等式(*)が成り立つことを示せ.

(2) すべての t >0 に対して上の不等式(*)が成り立つような a の範囲を求めよ.

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配点60点

易□ 並□ 難□

【3】  1 個のさいころを投げて,出た目が 1 2 であれば行列 A =( 01 -1 0 ) を,出た目が 3 4 であれば行列 B =( 0-1 1 0 ) を,出た目が 5 6 であれば行列 C =( -10 0 1 ) を選ぶ.そして,選んだ行列の表す 1 次変換によって x y 平面上の点 R を移すという操作を行う.点 R は最初は点 ( 0,1 ) にあるものとし,さいころを投げて点 R を移す操作を n 回続けて行ったときに点 R が点 ( 0,1 ) にある確率を pn ( 0,-1 ) にある確率を q n とする.

(1)  p1 p2 q1 q 2 を求めよ.

(2)  pn+ qn pn-1 +q n-1 の関係式を求めよ.また, pn -qn pn-1 -q n-1 の関係式を求めよ.

(3)  pn n を用いて表せ.

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配点60点

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【4】 点 P ( t,s ) s =2 t2- 2t を満たしながら x y 平面上を動くときに,点 P を原点を中心として 45 ° 回転した点 Q の軌跡として得られる曲線を C とする.さらに,曲線 C x 軸で囲まれた図形を D とする.

(1) 点 Q ( x,y ) の座標を, t を用いて表せ.

(2) 直線 y =a と曲線 C がただ 1 つの共有点を持つような定数 a の値を求めよ.

(3) 図形 D y 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V を求めよ.

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配点60点

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【5】  xy 平面上の曲線 C y= x3+ x2+1 を考え, C 上の点 ( 1,3 ) P0 とする. k=1 2 3 に対して,点 P n-1 ( xk-1 ,y k-1 ) における C の接線と C の交点のうちで P k-1 と異なる点を Pk ( xk, yk ) とする.このとき, P k-1 Pk を結ぶ線分と C によって囲まれた部分の面積を S k とする.

(1)  S1 を求めよ.

(2)  xk k を用いて表せ.

(3)  k= 1 1 Sk を求めよ.

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