2014　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．

(a)　さいころの出た目が$1\text{，}3\text{，}5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．

(b)　出た目が$2\text{，}4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．

(c)　出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．

以下の問いに答えよ．

(1)　さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,0)$に動く確率を求めよ．

(2)　さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,3)$に動く確率を求めよ．

(3)　さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．

【２】　座標平面上の点$(x,y)$に対し$f(x,y)\text{，}g(x,y)$を次で定める．

$f(x,y)={(x-3)}^2+y^2-4$

$g(x,y)=\sqrt{3}x-4y$

以下の問いに答えよ．

(1)　連立不等式

$f(x,y)\leqq 0\text{，}g(x,y)\leqq 0$

の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．

(2)　円$f(x,y)=0$と直線$g(x,y)=0$の交点において，円$f(x,y)=0$と接する直線の方程式を求めよ．

(3)　$D$を(1)で定めた領域とする．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値，最小値を求めよ．ただし，$a$は正の定数である．

【３】　放物線$y=x^2$を$C\text{，}y=-x^2+2x+4$を$D$とする．実数$t$を用いて表される$D$上の点$\mathrm{P}(t,-t^2+2t+4)$における$D$の接線を$l$とする．

(1)　$C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．

(3)　(1)で求めた$2$交点の$x$座標を$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，(2)で求めた接線$l$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする．

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ y\leqq f(x)\\ y\geqq -x^2+2x+4\end{array}$

$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．

【３】(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$は証明なく用いて良い．

(2)　異なる自然数$m\text{，}n$の組で

$m^n=n^m$

を満たすものをすべて求めよ．

(3)　曲線$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$と直線$y={\displaystyle \frac{\log 2}{2}}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

（編注）2022年名古屋市立大前期芸術工,医(医学科)学部【１】で改変して活用