2014　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

(1)　行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，

$A=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)(\begin{array}{cc}r& s\end{array})$

となるような実数$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$が存在することを示せ．

(2)　ある$2$次正方行列$X\text{，}Y$に対して$XY\ne O\text{，}AY\ne O\text{，}XAY=O$が成立するとき，$ad-bc\ne 0$となることを示せ．

${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\leqq \sin x\leqq x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x\text{，}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と曲線$y={\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$で囲まれた図形とする．$D_1\text{，}{D}_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．

(3)　$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s\text{，}\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1\text{，}0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$▵\mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．

(2)　直線$l$を$▵\mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$l$によって，$▵\mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1\text{，}$小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．

(ⅰ)　$l$が$▵\mathrm{ABC}$のいずれかの原点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の最大値と最小値を求めよ．

$f(l,m,n)={\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}$

とする．

(1)　$l+m+n=10$のとき，$f(l,m,n)$の値の最小値と最大値を求めよ．

(2)　方程式$f(l,m,n)=a$の解となる自然数$l\text{，}m\text{，}n$の組で$l\leqq m\leqq n$を満たすものが$2$つ以上存在するような$a$の例を挙げ，そのような自然数の組を$2$つ求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{11}{12}}<f(l,m,n)<1$を満たす自然数$l\text{，}m\text{，}n$の組で$l\leqq m\leqq n$を満たすものをすべて求めよ．