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2014 電気通信大学 昼間・前期

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )= ex-2 ex +2 について,以下の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.

(ⅰ) 極限 limx f (x ) limx - f (x ) をそれぞれ求めよ.

(ⅱ) 導関数 f ( x) および第 2 次導関数 f ( x) を求めよ.

(ⅲ) 曲線 y =f( x) C とするとき, C の変曲点の座標を求めよ.

(ⅳ) 曲線 C の変曲点における接線 l の方程式を求めよ.

(ⅴ) 曲線 C x 軸および接線 l で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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【2】  2 つの関数

f( x)= x4- x2 0x 2 ),g (y )= 4-y2 0y 2

を考える.座標平面上において,曲線 y =f( x) C 1 とし,曲線 x =g( y) C 2 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  C1 C 2 との共有点の座標を求めよ.

(ⅱ) 関数 f (x ) の最大値 M を求めよ.

(ⅲ)  C1 x 軸とで囲まれた図形の面積 S を求めよ.

(ⅳ) 点 ( x,y ) C 1 上にあるとき, x2 y を用いて表せ.

(ⅴ)  y 軸および 2 曲線 C1 C 2 で囲まれた図形を, y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.

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【3】 次の条件によって定められる数列 { an } を考える.

a1 =0 a n+1 = 2n ( n+1) 3n -an n=1 2 3

 このとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 不等式 an<n を数学的帰納法によって証明せよ.

(ⅱ) 数列 { bn } bn= n n-an n= 1 2 3 で定める. bn+ 1 b n を用いて表せ.

(ⅲ) 数列 { bn } の一般項を求めよ.

(ⅳ) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(ⅴ) 極限 limn a nn および limn a 2a 3a 4 an n! を求めよ.

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【4】 行列 A =( 31 -1 1 ) について,以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  A( 1 a )=k ( 1a ) を満たす実数 a k の値を求めよ.

(ⅱ) 行列 P =( 1p q0 ) A P=P ( r1 0r ) を満たすとき,実数 p q r の値を求めよ.

(ⅲ) 自然数 n に対して,行列 B =( α1 0 α ) n 個の積 B n

Bn= ( αn nα n-1 0 αn )

となることを証明せよ.ただし, α 0 と異なる実数とする.

(ⅳ) 自然数 n に対して, A n 個の積 A n を求めよ.

(ⅴ) 自然数 n に対して,実数 xn yn An= xn A+yn E を満たすように定めるとき, xn yn n を用いて表せ.ただし, E 2 次の単位行列とする.

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