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2014-10271-0201
2014 電気通信大学 後期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 関数
f⁡( x)= 3⁢cos⁡ x-cos⁡ 3⁢x ( -π 2≦x ≦π 2)
に対して,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 三角関数の加法定理を用いて, sin⁡3 ⁢x を sin ⁡x の式で表せ.
(ⅱ) f′⁡ (x )= 0 となる x の値を求めよ.
(ⅲ) 関数 f ⁡(x ) の増減を調べ,その最大値および最小値を求めよ.さらに,曲線 y =f⁡ (x ) の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.
(ⅳ) 曲線 y =f⁡ (x ) と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2014-10271-0202
【2】 曲線 C1: y=log⁡ x および曲線 C2: y=k⁢ x に対して,以下の問いに答えよ.ただし, log⁡x は自然対数を表し, k は定数とする.
(ⅰ) 曲線 C 1 上の点 ( t,log⁡ t) における C 1 の接線の方程式を求めよ.
(ⅱ) 2 曲線 C1 ,C 2 が共有点をもち,その点における 2 曲線の接線が一致するような k の値 k 0 を求めよ.さらにこのときの共有点の座標を求めよ.
(ⅲ) 不等式 log ⁡x≦ k0⁢ x ( x>0 ) が成り立つことを証明せよ.
(ⅳ) k=k 0 のとき, C1 , C2 および x 軸で囲まれた図形を D とする. D の面積 S を求めよ.
(ⅴ) D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
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【3】 an =[n +1 2] ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) で定義される数列 { an } に対して,以下の問いに答えよ.ただし,実数 x に対して, [x ] は x を超えない最大の整数を表す.たとえば, a1 =[ 32 ]=1 , a2 =[ 2+ 12 ]=1 である.
(ⅰ) a3 , a4 ,a 5 ,a 6 ,a 7 を求めよ.必要なら次の近似値を用いてよい.
2≒ 1.414 ,3 ≒1.732 , 5≒ 2.236 ,6 ≒2.449 , 7≒ 2.646
(ⅱ) m が自然数で an= m のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
(m- 1 2) 2≦n <(m +1 2) 2
ただし, [x ]≦x <[x ]+1 が成り立つことは既知としてよい.
(ⅲ) m が自然数のとき, an= m を満たす a n の項数を m の式で表せ.
(ⅳ) m が自然数のとき, an ≦m を満たす a n の総和を m の式で表せ.
(ⅴ) 極限値 limn→ ∞ 1n⁢ n⁢ ∑k=1 na k を求めよ.
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【4】 座標平面上に, 1 辺の長さ 2 の正方形 OABC を,頂点 O が原点と一致し, 4 頂点が反時計回りに順に O , A , B , C となるように配置する.さらに,頂点 B は x ≧0 ,y≧ 1 の表す領域内にあるとする.このとき,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 直線 y =1 を l とする.頂点 B が直線 l 上にあるとき,直線 OA の傾き m 0 を求めよ.
(ⅱ) 頂点 A が直線 l 上にあるとき,直線 OA の傾き m 1 を求めよ.
(ⅲ) 直線 OA の傾きが m のとき,正方形 OABC の周が直線 l から切りとる線分の長さを L とする.
① m0 ≦m≦ m1 のとき, L を m の式で表せ.
② m1 ≦m≦1 のとき, L を m の式で表せ.
(ⅳ) L の最大値と最小値を求めよ.
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【5】で配点60点
【5】[Ⅰ] 以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 極限値 limx→ 1 x2⁢ log⁡( x+1) -log⁡2 x-1 を求めよ.ただし, log⁡x は自然対数を表す.
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(ⅱ) 定積分 ∫01 x2 ⁢( 1-x) 9⁢dx を求めよ.
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(ⅲ) 極限値 limx→ ∞ 1 n2 ⁢ ∑ k=1 nk⁢ sin⁡ k ⁢π2 ⁢n を求めよ.
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【5】[Ⅱ] 数字 1 , 2 ,3 を重複を許して並べてできる 5 桁の整数について,以下の問いに答えよ.
(ⅳ) 3 の倍数の個数を求めよ.
(ⅴ) 9 の倍数の個数を求めよ.
(ⅵ) 数字 1 , 2 ,3 をすべて含む整数の個数を求めよ.