2014　一橋大学　後期MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$を次のように定める．

$C_1\text{：}y=x^3-3x$

$C_2\text{：}y=x^3-3x+a$

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線がただ一つ存在することを示せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$l$とする．$l$と$C_1$の$2$つの共有点の$x$座標の差が$1$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{OB}=2\sqrt{5}\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{5}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=10$

をみたす．四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

【３】　${(2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13)}^{10}$の$10$進法での桁数を求めよ．

【４】　一辺の長さが$2$の正方形を底面とし，高さが$1$の直方体を$K$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を，$K$の同じ面に属さない$2$頂点とする．直線$\mathrm{AB}$を含む平面で$K$を切ったときの断面積の最大値と最小値を求めよ．

【５】　$0$以上の整数$n$について

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{x}dx$

とする．

(1)　$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{8}{3}}<e<{\displaystyle \frac{30}{11}}$が成り立つことを示せ．

【６】　$n$を$7$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$個の球を袋に入れる．袋から無作為に取り出した$4$個の球の番号がすべて奇数である確率を$p_n$とする．

(1)　$p_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$p_n<0.05$となる$n$をすべて求めよ．