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2014-10280-0201
2014 東京海洋大学 前期海洋工学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 1 辺の長さが 1 である正五角形 ABCDE において, AB→ =a → ,AE →= b→ とし,線分 AC の長さを k とする.
(1) AC→ を a→ , b→ , k を用いて表せ.ただし,線分 AB と線分 EC が平行であることを用いてよい.
(2) 内積 a→ ⋅b→ を k を用いて表せ.
(3) k の値を求めよ.
(4) cos⁡∠ BAE の値を求めよ.
2014-10280-0202
【2】 a≠1 に対して A =( 01 -a 22 ⁢a ) とする.
(1) E-A の逆行列 B を求めよ.ただし E =( 10 01 ) とする.
(2) n=1 , 2 ,3 , ⋯ に対して,
E+A+ A2+ ⋯+A n=B⁢ (E- An+ 1)
となることを示せ.
(3) An= (- (n- 1)⁢ an n⁢a n-1 -n ⁢an +1 (n+ 1)⁢ an ) ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) を数学的帰納法を用いて示せ.
(4) ∑k= 1n k⁢a k-1 を求めよ.
2014-10280-0203
【3】 座標平面上の曲線 C :y= x3-x を考える. C 上の点 ( -a,- a3+ a) と ( a,a3 -a ) ( a>0 ) における C の接線をそれぞれ l1 ,l2 とする.また, l1 と C との ( -a,- a3+ a) 以外の共有点を P1 , l2 と C との ( a,a3 -a ) 以外の共有点を P2 とする.さらに, P2 を通り y 軸に平行な直線と l 1 の交点を Q1 ,P 1 を通り y 軸に平行な直線と l 2 の交点を Q2 とする.
(1) P 1 , P2 , Q 1 , Q2 の座標を求めよ.
(2) 2 点 P1 , P 2 を通る直線と C で囲まれる 2 つの図形の面積の和を S1 , 四角形 P1 Q1 P 2Q 2 の面積を S 2 とする. S 1S2 を求めよ.ただし, ∫ x3⁢ dx= x44 +D ( D は積分定数)を用いてよい.
2014-10280-0204
【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択
【4-Ⅰ】 座標平面上の放物線 C :y=- x2+ 2⁢a⁢ x-a2 +a+1 を考える. a が実数の範囲を動くとき,以下の問いに答えよ.
(1) C と放物線 y =x2 + 12 との 2 つの共有点を結んだ線分の中点(共有点が 1 つの場合にはその点自身とする)が描く軌跡の長さを求めよ.
(2) y≧x 2+ 12 の表す領域のうちで C が通過する部分の面積を求めよ.
2014-10280-0205
【4-Ⅱ】 k=0 , 2 ,3 , ⋯ に対して, Ik= ∫ 0log⁡ 2 ( ex- 1) k⁢d x とおく.
(1) 0≦x≦ log⁡2 のとき, 0≦e x-1≦ x log⁡2 が成り立つことを示せ.ただし, e>2 であることを用いてよい.
(2) Ik+ Ik+ 1 を k を用いて表せ.
(3) 1- 12+ 13 - 14+ ⋯+ (-1 )n ⁢ 1 n+1 =I0 +( -1) n⁢I n+1 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) が成り立つことを示せ.
(4) limn →∞ ∑ k=1 n (-1 )k ⁢ 1 k+1 を求めよ.