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2014 東京海洋大学 前期海洋工学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】  1 辺の長さが 1 である正五角形 ABCDE において, AB =a AE = b とし,線分 AC の長さを k とする.

(1)  AC a b k を用いて表せ.ただし,線分 AB と線分 EC が平行であることを用いてよい.

(2) 内積 a b k を用いて表せ.

(3)  k の値を求めよ.

(4)  cos BAE の値を求めよ.

2014 東京海洋大学 前期海洋工学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  a1 に対して A =( 01 -a 22 a ) とする.

(1)  E-A の逆行列 B を求めよ.ただし E =( 10 01 ) とする.

(2)  n=1 2 3 に対して,

E+A+ A2+ +A n=B (E- An+ 1)

となることを示せ.

(3)  An= (- (n- 1) an na n-1 -n an +1 (n+ 1) an ) n=1 2 3 を数学的帰納法を用いて示せ.

(4)  k= 1n ka k-1 を求めよ.

2014 東京海洋大学 前期海洋工学部

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の曲線 C y= x3-x を考える. C 上の点 ( -a,- a3+ a) ( a,a3 -a ) a>0 における C の接線をそれぞれ l1 l2 とする.また, l1 C との ( -a,- a3+ a) 以外の共有点を P1 l2 C との ( a,a3 -a ) 以外の共有点を P2 とする.さらに, P2 を通り y 軸に平行な直線と l 1 の交点を Q1 P 1 を通り y 軸に平行な直線と l 2 の交点を Q2 とする.

(1)  P 1 P2 Q 1 Q2 の座標を求めよ.

(2)  2 P1 P 2 を通る直線と C で囲まれる 2 つの図形の面積の和を S1 四角形 P1 Q1 P 2Q 2 の面積を S 2 とする. S 1S2 を求めよ.ただし, x3 dx= x44 +D D は積分定数)を用いてよい.

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配点25点

【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択

易□ 並□ 難□

【4-Ⅰ】 座標平面上の放物線 C y=- x2+ 2a x-a2 +a+1 を考える. a が実数の範囲を動くとき,以下の問いに答えよ.

(1)  C と放物線 y =x2 + 12 との 2 つの共有点を結んだ線分の中点(共有点が 1 つの場合にはその点自身とする)が描く軌跡の長さを求めよ.

(2)  yx 2+ 12 の表す領域のうちで C が通過する部分の面積を求めよ.

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配点25点

【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択

易□ 並□ 難□

【4-Ⅱ】  k=0 2 3 に対して, Ik= 0log 2 ( ex- 1) kd x とおく.

(1)  0x log2 のとき, 0e x-1 x log2 が成り立つことを示せ.ただし, e>2 であることを用いてよい.

(2)  Ik+ Ik+ 1 k を用いて表せ.

(3)  1- 12+ 13 - 14+ + (-1 )n 1 n+1 =I0 +( -1) nI n+1 n=1 2 3 が成り立つことを示せ.

(4)  limn k=1 n (-1 )k 1 k+1 を求めよ.

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