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2014 横浜国立大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b を実数とする. xy 平面上の曲線 C y= x3+ ax 2+x -2 と直線 l y=b x-2 が異なる 3 点で交わるとき,次の問いに答えよ.

(1)  a b の条件を求めよ.

(2)  3 つの交点それぞれにおける C の接線の中に,傾きが 1 より大きいものと, 1 より小さいものがどちらも存在するための a b の条件を求め,その条件をみたす a b 平面上の点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.

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経済,理工学部

理工学部は【3】

易□ 並□ 難□

【2】  O を原点とする座標空間に, 4

A( -2,1 ,3) B ( s,3, -1) C ( 1,3, 4) D ( t,2 t,2 t)

がある.ただし, s t は実数で t 0 である. A を通り OC に平行な直線と, B を通り OD に平行な直線が点 P で交わるとする.次の問いに答えよ.

(1)  s の値および P の座標を求めよ.

以下では PAB OCD を仮定する.

(2)  t の値を求めよ.

(3)  D から平面 PAB に下ろした垂線を DH とするとき, H の座標を求めよ.

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経済学部

理工学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  r 0 <r<1 をみたす定数とする.数列 { an } に対して

Sn= k=1 n (- 1) k-1 ra k n=1 2 3

とする.次の問いに答えよ.ただし以下では,実数 x に対して, [x ] l x<l +1 をみたす整数 l を表す.

(1) 数列 { an } an= [ n2 ] で定めるとき, S2 n r n の式で表せ.

(2) 数列 { an } an= [ n3 ] で定めるとき, S3 n r n の式で表せ.

(3)  a1 =0 a na n+1 an +1 n= 1 2 3 および S2014= 0 をみたす数列 { an } のうち, k= 12014 ra k を最小にする数列 { an } の第 2014 項を求め,そのときの最小値を r の式で表せ.

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理工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 定積分 0 π2 x3 cos( x2) dx を求めよ.

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理工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2)  0<x <1 のとき,不等式

( x +12 ) x+1 <xx

が成り立つことを示せ.

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理工学部

易□ 並□ 難□

【2】  r 0 <r<1 をみたす定数とする.次の問いに答えよ.

(1) 数列 { an } an= [ n3 ] で定める.ただし,実数 x に対して, [x ] lx< l+1 をみたす整数 l を表す.このとき,

limn k= 13 n (- 1) k-1 r ak

を求めよ.

(2) 数列 { bn }

n が奇数のとき bn= n

n が偶数のとき bn= 2n

で定める.このとき,

limn 1 n k =12 n ( -1) k-1 r bk n

を求めよ.

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理工学部

易□ 並□ 難□

【4】 平面上に半径 1 と半径 2 の同心円 C 1 C2 がある.自然数 n に対して, C2 の周を 3 n 等分する 3 n 個の点がある.この 3 n 個の点の中から異なる 3 点を選ぶとき,次の(*)をみたす選び方の総数を a k k=0 1 2 3 とする.

(*) 選んだ 3 点を頂点とする三角形の辺のうち,ちょうど k 個が C 1 の周と共有点をもつ.

 次の問いに答えよ.

(1)  n=2 のとき, a0 a1 a2 a3 を求めよ.

(2)  n2 のとき, a0 a1 a2 a3 n の式で表せ.

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理工学部

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面上に曲線 C y= x2 がある. C 上の 2 P Q PQ =2 をみたしながら動くとき, PQ の中点の軌跡を D とする.次の問いに答えよ.

(1)  D の方程式を求めよ.

(2)  C D y 軸および直線 x =1 2 で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

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