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2014-10301-0101
2014 横浜国立大学 前期
経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を実数とする. xy 平面上の曲線 C :y= x3+ a⁢x 2+x -2 と直線 l :y=b ⁢x-2 が異なる 3 点で交わるとき,次の問いに答えよ.
(1) a ,b の条件を求めよ.
(2) 3 つの交点それぞれにおける C の接線の中に,傾きが 1 より大きいものと, 1 より小さいものがどちらも存在するための a , b の条件を求め,その条件をみたす a b 平面上の点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.
2014-10301-0102
経済,理工学部
理工学部は【3】
【2】 O を原点とする座標空間に, 4 点
A( -2,1 ,3) ,B ( s,3, -1) ,C ( 1,3, 4) ,D ( t,2⁢ t,2⁢ t)
がある.ただし, s ,t は実数で t ≠0 である. A を通り OC → に平行な直線と, B を通り OD → に平行な直線が点 P で交わるとする.次の問いに答えよ.
(1) s の値および P の座標を求めよ.
以下では ▵ PAB∽▵ OCD を仮定する.
(2) t の値を求めよ.
(3) D から平面 PAB に下ろした垂線を DH とするとき, H の座標を求めよ.
2014-10301-0103
理工学部【2】の類題
【3】 r を 0 <r<1 をみたす定数とする.数列 { an } に対して
Sn= ∑ k=1 n (- 1) k-1 ⁢ra k ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
とする.次の問いに答えよ.ただし以下では,実数 x に対して, [x ] は l ≦x<l +1 をみたす整数 l を表す.
(1) 数列 { an } を an= [ n2 ] で定めるとき, S2⁢ n を r と n の式で表せ.
(2) 数列 { an } を an= [ n3 ] で定めるとき, S3⁢ n を r と n の式で表せ.
(3) a1 =0 ,a n≦a n+1 ≦an +1 ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) および S2014= 0 をみたす数列 { an } のうち, ∑k= 12014 ra k を最小にする数列 { an } の第 2014 項を求め,そのときの最小値を r の式で表せ.
2014-10301-0104
理工学部
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 定積分 ∫0 π2 x3⁢ cos⁡( x2) ⁢dx を求めよ.
2014-10301-0105
(2) 0<x <1 のとき,不等式
( x +12 ) x+1 <xx
が成り立つことを示せ.
2014-10301-0106
【2】 r を 0 <r<1 をみたす定数とする.次の問いに答えよ.
(1) 数列 { an } を an= [ n3 ] で定める.ただし,実数 x に対して, [x ] は l≦x< l+1 をみたす整数 l を表す.このとき,
limn →∞ ∑k= 13⁢ n (- 1) k-1 ⁢r ak
を求めよ.
(2) 数列 { bn } を
n が奇数のとき bn= n
n が偶数のとき bn= 2⁢n
で定める.このとき,
limn →∞ 1 n⁢ ∑k =12 ⁢n ( -1) k-1 ⁢r bk n
2014-10301-0107
【4】 平面上に半径 1 と半径 2 の同心円 C 1 と C2 がある.自然数 n に対して, C2 の周を 3 ⁢n 等分する 3 ⁢n 個の点がある.この 3 ⁢n 個の点の中から異なる 3 点を選ぶとき,次の(*)をみたす選び方の総数を a k ( k=0 ,1 , 2 ,3 ) とする.
(*) 選んだ 3 点を頂点とする三角形の辺のうち,ちょうど k 個が C 1 の周と共有点をもつ.
次の問いに答えよ.
(1) n=2 のとき, a0 , a1 , a2 , a3 を求めよ.
(2) n≧2 のとき, a0 , a1 , a2 , a3 を n の式で表せ.
2014-10301-0108
【5】 xy 平面上に曲線 C :y= x2 がある. C 上の 2 点 P ,Q が PQ =2 をみたしながら動くとき, PQ の中点の軌跡を D とする.次の問いに答えよ.
(1) D の方程式を求めよ.
(2) C ,D , y 軸および直線 x =1 2 で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.