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2014 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農,理,工,医,歯学部

易□ 並□ 難□

【1】  a a 0 となる実数とし, θ の関数 f (θ )

f( θ)= 2sin 2θ+ 4a (cos θ-sin θ)+ 1

とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  t=cos θ-sin θ とおく.このとき, f( θ) a t を用いて表せ.

(2)  0θ π のとき, t のとりうる値の範囲を求めよ.

(3)  0θ π のとき, f( θ) の最大値と最小値を a を用いて表せ.

2014 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農学部

理,工,医,歯学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える.辺 AB 2 :1 に内分する点を P とし,線分 CP 3 :1 に内分する点を Q とする.また,直線 OC 上の点 R QR OC となるようにとる. OA =a OB =b OC =c とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  OQ a b c を用いて表せ.

(2)  QR a b c を用いて表せ.

(3)  QR の大きさ | QR | を求めよ.

2014 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農学部

易□ 並□ 難□

【3】  A の箱には 1 から 30 までの整数が 1 つずつ書かれた 20 枚のカードが入っている. B の箱には 1 から 30 までの整数が 1 つずつ書かれた 30 枚のカードが入っている. A B の箱から 1 枚ずつカードを取り出し,取り出した 2 枚のカードに書かれた整数の和を X とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  X 2 の倍数となる確率を求めよ.

(2)  X 2 の倍数であるが 5 の倍数でない確率を求めよ.

(3)  X 5 の倍数となる確率を求めよ.

(4)  X 2 の倍数にも 5 の倍数にもならない確率を求めよ.

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経済,人文,教育,農学部

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【4】 座標平面上の曲線 y =|x 2+2 x| C とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C と直線 y =x+2 の共有点の座標を求めよ.

(2) 曲線 C と直線 y =x+2 で囲まれた部分の面積を求めよ.

(3) 曲線 C と直線 y =x+a がちょうど 2 つの共有点をもつような実数 a の値の範囲を求めよ.

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理,工,医,歯学部

経済,人文,教育,農学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える.辺 AB 2 :1 に内分する点を P とし,線分 CP 3 :1 に内分する点を Q とする.また,直線 OC 上の点 R QR OC となるようにとる. OA =a OB =b OC =c とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  OQ a b c を用いて表せ.さらに, OQ の大きさ | OQ | を求めよ.

(2)  OR RC の大きさの比 | OR |: |RC | を求めよ.

(3)  OQR の面積を求めよ.

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理,工,医,歯学部

易□ 並□ 難□

【3】  a b c を実数とする.行列 A =( 21 a- 3 ) P=( 2 12 -6 ) P-1 A P=( 3b 0c ) を満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a b c の値を求めよ.

(2)  A は逆行列をもつことを示し, A の逆行列 A -1 を求めよ.

(3) 自然数 n に対して, An を求めよ.

(4) 自然数 n に対して, (A +6 A-1 )n を求めよ.

2014 新潟大学 前期

理,工,医,歯学部

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x )=( -4x 2+2 )e -x2 について,次の問いに答えよ.

(1)  f( x) の極値を求めよ.

(2)  a a 0 となる実数とし, I( a)= 0a e-x 2 dx とする.このとき,定積分 0a x2 e-x 2 dx a I( a) を用いて表せ.

(3) 曲線 y =f( x) x 軸, y 軸および直線 x =5 で囲まれる部分の面積を求めよ.

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理,工,医,歯学部

易□ 並□ 難□

【5】 自然数 n に対して, an= 01 x2+ (- x2) n+1 1+ x2 dx とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 自然数 n に対して,不等式

| 01 x 21+ x2 dx-a n| 1 2n+ 3

が成り立つことを示せ.

(2) 定積分 01 x21 +x2 dx を求めよ.

(3) 自然数 n に対して, an = k= 1n (-1 )k +1 2k+ 1 となることを示せ.

(4) 極限値 limn k =1n (-1 )k +1 2k+ 1 を求めよ.

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