2014　新潟大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$2x-3|x+1|+4=0$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の不等式

$2^n<{10}^{123}<2^{n+1}$

を満たす整数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　放物線$y=-x^2+x+2$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{24}{25}}$とするとき，$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値を求めよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とし，辺$\mathrm{DE}$を$t:1-t\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(4)　$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．点$\mathrm{H}$と直線$\mathrm{AE}$の距離を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　正数列$\{x_n\}$に対して，

$y_n=x_1{x}_n+x_2{x}_{n-1}+\cdots +x_n{x}_1$

で数列$\{y_n\}$を定める．このとき，

$y_1+y_2+y_3\leqq {(x_1+x_2+x_3)}^2$

を証明せよ．

(2)　$n$を正整数とする．このとき，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$に対して

$\sqrt{k(n-k+1)}\leqq {\displaystyle \frac{n+1}{2}}$

を証明せよ．

(3)　$a_n={(-1)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$で定められる数列$\{a_n\}$に対して，

$b_n=a_1{a}_n+a_2{a}_{n-1}+\cdots +a_n{a}_1$

で数列$\{b_n\}$を定める．このとき，$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して

${\displaystyle \frac{2n}{n+1}}\leqq \left|b_n\right|$

を証明せよ．

【４】　関数$f(x)=x{e}^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　任意の実数$x$に対して

$e^{x^2}\geqq 1+x^2$

が成立することを示せ．

(3)　$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(4)　$f(x)$の増減表を作成し，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．