2014　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　下の問いに答えなさい．

(1)　$n$を自然数とする．それぞれに$1\text{，}10\text{，}100\text{，}\cdots \text{，}{10}^{n-1}$が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から$1$枚のカードを取り出し，書かれた数を$X$とするとき，$X$の期待値を求めなさい．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とする．それぞれに$1\text{，}10\text{，}100\text{，}\cdots \text{，}{10}^{n-1}$が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から同時に$2$枚のカードを取り出し，書かれた数の和を$Y$とするとき，$Y$の期待値を求めなさい．

【２】　$A$を$2$次の正方行列とし，$O$を$2$次の零行列，$E$を$2$次の単位行列とする．$P=A-E$とおいたとき，$P^2=O$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)　等式$A^2=2P+E$と$A^3=3P+E$を示しなさい．

(2)　自然数$n$に対して$A^n$を$P$と$E$で表しなさい．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$のとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めなさい．

【３】　平面上の原点を$\mathrm{O}(0,0)$とし，点$\mathrm{A}(2,0)$をとる．また，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$に対して$\angle \mathrm{AOP}=\theta \text{，}\angle \mathrm{APO}=\varphi \text{，}\mathrm{AP}=z$とおく．ただし，$0<\theta <\pi$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　正弦定理を用いて$z$を$\theta$と$\varphi$で表しなさい．

(2)　余弦定理を用いて$z^2$を$\theta$で表しなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{dz}{d\theta }}$を$\varphi$で表しなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{dz}{d\theta }}$の最大値，およびその最大値を与える$\theta$の値を求めなさい．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{，}x>0$を考える．下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の最大値，およびその最大値を与える$x$の値を求めなさい．

(2)　前問(1)の結果を利用して$e^3>3^e$であることを証明しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．