2014　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y=x^2+2x$上の$2$点$(a,a^2+2a)\text{，}(b,b^2+2b)$における接線をそれぞれ$l_a\text{，}{l}_b$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$とする．

(1)　$2$直線$l_a\text{，}{l}_b$の方程式を求めよ．また，$l_a$と$l_b$の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　放物線$C$と$2$直線$l_a\text{，}{l}_b$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$2$直線$l_a\text{，}{l}_b$が垂直に交わるように$a\text{，}b$が動くとき，$a\text{，}b$がみたす関係式を求めよ．また，そのときの面積$S$の最小値とそれを与える$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　$1$から$4$までの番号を書いた玉が$2$個ずつ，合計$8$個の玉が入った袋があり，この袋から玉を$1$個取り出すというい操作を続けて行う．ただし，取り出した玉は袋に戻さず，また，すでに取り出した玉と同じ番号の玉が出てきた時点で一連の操作を終了するものとする．

　玉をちょうど$n$個取り出した時点で操作が終わる確率を$P(n)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$P(2)\text{，}P(3)$を求めよ．

(2)　$6$以上の$k$に対し，$P(k)=0$が成り立つことを示せ．

(3)　一連の操作が終了するまでに取り出された玉の個数の期待値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が

$a_1+2a_2+3a_3+\cdots +n{a}_n=2^n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$とおくとき，

$S_n=4-{\displaystyle \frac{n+2}{2^{n-1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{a_k}}$を求めよ．