2014　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域MathJax

【１】　$a$を実数とする．このとき，座標空間内の球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2=1$と直線$l\text{：}(x,y,z)=(2,-1,0)+t(-1,a,a)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$S$と$l$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$の値が(1)で求めた範囲にあるとき，$S$と$l$の$2$つの交点の間の距離$d$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$d$が最大あとなるような実数$a$の値とそのときの$d$を求めよ．

【２】　関数$y={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の変曲点のうち，$x$座標が最大となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$とするとき，

$\tan \theta =e^b$

をみたす$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対し，$\tan 2\theta$および$\theta$の値を求めよ．

(3)　上の$b$に対する直線$x=b$と$x$軸，$y$軸および$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　行列

$P=\left(\begin{array}{cc}x& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}& y\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$P^2=P$をみたす実数の組$(x,y)$は$2$組ある．これらを求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$つの組を$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)$とし，それぞれに対応する行列$P$を$P_1\text{，}{P}_2$とおく．ただし，$x_1<x_2$とする．このとき$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し

${(P_1{P}_2)}^n{P}_1=r_n{P}_1$

をみたす実数$r_n$を求めよ．

(3)　重複を許して$P_1\text{，}{P}_2$を$6$個並べて得られる順列

$Q_1{Q}_2{Q}_3{Q}_4{Q}_5{Q}_6$

のうちで$Q_1=P_1$となるものすべてを考え，それぞれの順列に$6$個の行列の積$P_1{Q}_2{Q}_3{Q}_4{Q}_5{Q}_6$を対応させる．このようにして得られる行列のうち，異なるものはいくつあるか．

【４】　自然数が$1$つずつ書かれている玉が，

$\text{①}\text{①}\text{②}\text{①}\text{②}\text{③}\text{①}\text{②}\text{③}\text{④}\text{①}\text{②}\text{③}\text{④}\text{⑤}\text{①}\text{②}\cdots$

のように$1$列に並べられている．次の問いに答えよ．

(1)　数$100$が書かれた玉が最初に現れるのは何番目か．

(2)　自然数$n$に対し，$2n^2$番目の玉に書かれている数は何か．

(3)　$1$番目から$2n^2$番目までの玉をすべて袋に入れた．この袋から$2$つの玉を取り出すとき，同じ数が書かれた玉を取り出す確率を求めよ．