2014　福井大学　前期MathJax

【１】　総数$20$本のくじの中に，賞金$1000$円の$1$等が$1$本，賞金$500$円の$2$等が$2$本，賞金$100$円の$3$等が$3$本入っており，残りは全て賞金$0$円のはずれくじである．このくじを$2$本引くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$等が$1$本以上当たる確率を求めよ．

(2)　得られる賞金の総額が$1000$円になる確率を求めよ．

(3)　得られる賞金の総額の期待値を求めよ．

(4)　このくじを$1$本引くのに参加料を$x$円払う必要があるとする．このくじを$2$本引くとき，$x$がいくらまでならば，「くじを引くこと」が得になるか答えよ．ここで，得られる賞金の総額の期待値よりも参加料の方が少ないとき，得であると判断することにする．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}1:t$に内分する点を$\mathrm{N}$としたとき，$\angle \mathrm{AOB}=3\angle \mathrm{AOM}$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{ON}={\displaystyle \frac{1-t}{t}}$であることを証明せよ．

(2)　$x=\cos \angle \mathrm{AOB}\text{，}y=\cos \angle \mathrm{AOM}$とするとき，$x\text{，}y$を$t$を用いて表せ．

(3)　$x=-y^2$が成り立つときの，$t$の値と辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}3a_{n+1}-4a_n+1=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$の小数部分を$b_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}$を求めよ．

【４】　$f(x)=3\sin x\text{，}g(x)=x(2+\cos x)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$0<x<\pi$のとき，$0<f(x)<g(x)$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$と直線$x=\pi$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,0)$と放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3x+6$があり，$C$上の点で$x$座標が$t$と$2t$であるものをそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし$t>0$とする．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．

(2)　$t=t_0$のとき，$▵\mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．

(3)　$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$▵\mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

【１】　$▵\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\angle \mathrm{AOP}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}k=\mathrm{OP}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と$t\text{，}k$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{AQ}=\mathrm{BP}$が成り立つとする．$k$を$t$を用いて表せ．また内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．

【２】　$1$から$7$までの数を$1$つずつ書いた$7$個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を$1$個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行を$n$回繰り返して得られる$n$個の数の和が$4$の倍数となる確率を$p_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_1$と$p_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．

(3)　$p_n$を求めよ．また極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線が点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}})$を通るような$t$の値を求めよ．

(3)　$t$を(2)で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$p>1\text{，}q>1$のとき，不等式$p+q<pq+1$を証明せよ．

(2)　$a>1\text{，}b>1$のとき，不等式$\sqrt{a+b-1}<\sqrt{a}+\sqrt{b}-1$を証明せよ．

(3)　$a>1\text{，}b>1\text{，}c>1$のとき，不等式$\sqrt{a+b+c-2}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2$を証明せよ．

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす二等辺三角形とする．$t$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<t<1$を満たす定数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}\angle \mathrm{AOM}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{OM}=s$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AN}=\mathrm{BM}$のとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\cos \angle \mathrm{BOM}=x$とおく．(2)の仮定のもとで，さらに$x^2+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$が成り立っているとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【３】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式が成り立つような$\cos \theta \text{，}\sin \theta \text{，}a\text{，}b$を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$A\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$

(2)　$n$を正の整数とするとき，$A^n+{(A^{-1})}^n$を求めよ．

(3)　$A=B^2$となる行列$B$をすべて求めよ．

【４】[1]　$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．

(1)　等式${\displaystyle {\int }_0^1}{t}^n{e}^{t}dt=a_{n}e+b_n$が成り立つ整数$a_n\text{，}{b}_n$がただ$1$組存在することを示せ．

(2)　$a_{n+1}{b}_n-a_n{b}_{n+1}$の値を求めよ．

【４】[2]　区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x}}dx$