2014　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　標高$376\mathrm{m}$の地点から富士山に登り始めた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850\mathrm{m}$上昇するごとに$10\mathrm{\%}$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990\mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776\mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答えは小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．

【１】

(2)　ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．

【１】

(3)　${\log }_{2}3\text{，}{\log }_{4}7\text{，}{\log }_{8}28$を小さい順に並べよ．

【１】

(4)　空間の$3$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2,3)\text{，}\mathrm{C}(-1,0,0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,3,z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．

【２】　$a$は定数で$0\leqq a\leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．

(1)　$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．

(2)　$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x\leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．

(3)　(2)の$A$で不等式$x\geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．

【３】　整式$P_1(x)\text{，}{P}_2(x)\text{，}{P}_3(x)\text{，}\cdots$を次の式で定める．

$P_1(x)=x\text{，}{P}_2(x)=x^2+1\text{，}{P}_{n+2}(x)=2x{P}_{n+1}(x)+(1-x^2)P_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$P_3(x)\text{，}{P}_4(x)$を求めよ．

(2)　$P_n(1)$を求めよ．

(3)　$P_n(0)$を求めよ．

(4)　$P_n(2)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=e^{1+{\sin }^{2}x}$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　条件$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．

【２】　実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)　$b\ne 0$または$c\ne 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$用いた式で表せ．

(2)　実数$k$が$A\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．

(3)　$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a\text{，}d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．

(4)　$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．

【３】　座標平面上の原点を$\mathrm{O}\text{，}$曲線$y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,t^3)\text{（}t>0\text{）}$における接線と$x$との交点を$\mathrm{Q}$とし，また$\alpha =\angle \mathrm{POQ}\text{，}\beta =\angle \mathrm{OPQ}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いた式で表せ．

(2)　$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$t$を用いた式で表せ．

(3)　$\tan \beta$が最大となるような$t$とそのときの$\beta$の値を求めよ．

【４】　楕円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{3^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2^2}}=1$および直線$l\text{：}y=kx\text{（}k>0\text{）}$とそれらの交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．

(2)　楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$l$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．

(3)　楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【５】　曲線$C$は媒介変数$t$（$0\leqq t\leqq 2\pi$）によって，$x=t-\sin t\text{，}y=1-\cos t$と表される．

(1)　$x$は$t$の関数として増加関数であることを示せ．

(2)　$0<t<2\pi$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$を用いた式で表せ．また，$y$の$x$に関する増減を調べよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\cos }^{2}tdt$および${\displaystyle \int }{\cos }^{3}tdt$を求めよ．

(4)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．