2014　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　

(1)　$0<\theta <\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta +4{\cos }^2\theta <0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

【１】　

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【１】　

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}}$の和を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|\log (2-t)|dt\text{（}0<x<1\text{）}$において，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$を最小にする$x$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t,0)\text{，}\mathrm{Q}(\cos 2t,\sin 2t,\cos t)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0\leqq t\leqq 2\pi$とする．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は平行でないことを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$は$t$の値に関係なく一定であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta (t)$のとる値の範囲を求めよ．

【４】　$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$y=1$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$y=1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．