2014 信州大学 後期 理学部数ⅠAⅡBMathJax

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2014 信州大学 後期 理学部数ⅠAⅡB

易□ 並□ 難□

【1】 以下の条件をみたす正の数 r の最大値を求めよ:

放物線 C y= x2 上のどの点 P に対しても,不等式 y >x2 の表す領域に中心があり, C と点 P のみを共有する半径 r の円が存在する.

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【2】 数列 { an } a1= 3 a n+1 =a n2- 2an +2 をみたすものとする.

(1) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(2)  an+ 1= a1 a2 a n+2 が成り立つことを証明せよ.

(3) 相異なる m n に対し, am a n の最大公約数を求めよ.

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【3】 実数 s t 0 <s<1 0<t <1 をみたすとする. OAB の辺 AB s :t に内分する点を P OA s :(1 -s) に内分する点を Q OB t :(1 -t) に内分する点を R とする.また直線 OP と直線 QR の交点を T とする. OAP の面積と ORT の面積の比を s t を用いて表せ.

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【4】 放物線 y =-x2 +8 x-14 x 軸方向に 2 t y 軸方向に t だけ平行移動してできる放物線を C t とする.

(1)  Ct と放物線 y =x2 が異なる 2 点で交わるような t の値の範囲を求めよ.

(2)  t が(1)の範囲を動くとき, Ct y =x2 で囲まれた図形の面積を S (t ) とする. S( t) の最大値とそのときの t の値を求めよ.

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