2014　信州大学　後期　理学部数IIIC医MathJax

【１】(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{3\sin \theta -\sin 3\theta }{1+\cos \theta }}d\theta$を求めよ．

【１】(2)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_2^x}{\displaystyle \frac{t^2}{{(t^2-1)}^2}}dt$を求めよ．

【２】　$e$を自然対数の底とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対し，

$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{t}^n{e}^{1-t}dt<e-1$

を示せ．

(2)　正の数$a$と自然数$n$に対し，

$e^a=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a^k}{k!}}+{\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^a}{t}^n{e}^{a-t}dt$

が成り立つことを示せ．

(3)　(1)と(2)を用いて$2.4<e<3$を証明せよ．

【３】　曲線$C\text{：}3x^2-2\sqrt{2}xy+2y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と直線$y=ax$との交点を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点と原点との距離の最大値およびその値をとる点の座標をすべて求めよ．また，最小値およびその値をとる点の座標をすべて求めよ．

【１】　$p$を素数とする．自然数$m$を，$p$で割り切れない整数$a$と整数$n\geqq 0$を用いて

$m=a{p}^n$

と表すとき，$f_p(m)=p^{-n}$と定める．

(1)　自然数$k\text{，}l$に対し，

$f_p(kl)=f_p(k)f_p(l)$

であることを証明せよ．

(2)　自然数$k\text{，}l$に対し，

$f_p(k+l)\leqq \max \{f_p(k),f_p(l)\}$

であることを証明せよ．ただし，実数$a\text{，}b$に対して$\max \{a,b\}$は$a\text{，}b$のうち小さくない方を表す．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{2}^{i-1}$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_2(S_n+k)=0$となる自然数$k$をすべて求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とおく．また，$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$内心を$\mathrm{I}$とおき，外接円の半径を$R$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}}$を示せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OI}}\right|}^2=R^2-{\displaystyle \frac{abc}{a+b+c}}$を示せ．

【３】　数列$\{a_n\}$が与えられたとき，数列$\{b_n\}\text{，}\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$を以下のように定める．

$\begin{array}{lll}{b}_n={(-1)}^n(a_n+a_{n-1})& \text{（}n\geqq 2\text{），}& b_1=0\\ c_n=b_n-b_{n-1}& \text{（}n\geqq 2\text{），}& c_1=0\\ d_n=d_{n-1}-(n-1)c_n& \text{（}n\geqq 2\text{），}& d_1=0\end{array}$

$\{a_n\}$が実数$a$に収束するとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(-1)}^n{\displaystyle \frac{d_n}{n}}$を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{4}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$に直線$l\text{：}x+y=a$が接しているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点を直線$l$で折り返した点の軌跡を$C_l$とする．$C_l\text{，}x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．