2014　信州大学　後期　繊維学部MathJax

【１】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(1,-2)$を直線$y=-x$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$を原点の周りに$150\mathrm{°}$だけ回転した位置にある点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【１】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(2)　位置ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,3)\text{，}\overrightarrow{b}=(5,1)$のそれぞれの終点を結ぶ線分上の点の位置ベクトルを$\overrightarrow{c}=(x,y)$とするとき，$x+xy+y$の最大値を求めよ．

【１】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(3)　$3$次方程式$x^3-3x^2+ax+b=0$が$(1+i)$を解にもつとき，実数の係数$a\text{，}b$を求めよ．また，他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　媒介変数$t\text{（}\geqq 0\text{）}$を用いて，$x={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{-t}{1+t^2}}$と表されるとき，点$\mathrm{P}(x,y)$は$xy$座標平面上で曲線として表される。次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(1)　曲線の方程式を求めよ．

(2)　曲線を図示せよ．また，$t$が増大するにしたがって点$\mathrm{P}$が変化する方向を曲線上に矢印で示せ．

(3)　直線$y=x+a$とこの曲線が接するとき，$a$の値を求めよ．また，その接点における$t$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の$2$つの放物線$y=9-3x^2$と$y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$について，次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=9-3x^2$と$x$軸で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ．

(2)　$2$つの放物線$y=9-3x^2\text{，}y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$および$x$軸で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V_2$を求めよ．

(3)　$V_1=2V_2$のときの$a$の値を求めよ．

【４】　半径$r$の円$P$と半径${\displaystyle \frac{r}{2}}$の円$Q$の二つの円がある．円$Q$は円$P$の円周上の点$\mathrm{A}$とその中心を通る．また，円$Q$には一辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$が内接している．円$Q$の弧$\mathrm{BC}$上に新たに点$\mathrm{D}$をとるとき，$\angle \mathrm{CAD}=\theta$として次の(1)〜(4)の問いに答えよ．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <60\mathrm{°}$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ACD}$の面積を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ACD}$と三角形$\mathrm{BCD}$の面積の和が最大となるときの$\theta$を求めよ．

(4)　円$P$に内接する正三角形$\mathrm{AEF}$について考える．円$P$の弧$\mathrm{EF}$上に新たに点$\mathrm{G}$をとるとき，三角形$\mathrm{AFG}$と三角形$\mathrm{EFG}$の面積の和の最大値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}<\angle \mathrm{FAG}<60\mathrm{°}$とする．