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2014-10441-0101
2014 岐阜大学 前期
教育(イ),(ロ),地域科,工,医(医,看護),応用生物学部
配点率20%
易□ 並□ 難□
【1】 t は実数で 0 <t<2 とする.図のように, 1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD の辺 AC 上に点 P があり,辺 AD 上に点 Q がある. CP=AQ =t のとき,以下の問に答えよ.
(1) 線分 BP , PQ ,QB の長さを,それぞれ t を用いて表せ.
(2) t が 0 <t<2 の範囲を変化するとき,三角形 BPQ の 3 辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3) 三角錐 ABPQ の体積を t を用いて表せ.
(4) t が 0 <t<2 の範囲を変化するとき,三角錐 ABPQ の体積の最大値を求めよ.
2014-10441-0102
【2】 サイコロを 3 回振り,出た目を順に a , b ,c とする.関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= 3⁢a⁢ x2- 2⁢b⁢ x+3⁢ c
と定める.以下の問に答えよ.
(1) 方程式 f ⁡(x )=0 が x =1 を解にもつ確率を求めよ.
(2) 方程式 f ⁡(x )=0 が異なる 2 つの実数解をもつ確率を求めよ.
(3) 方程式 f ⁡(x ) が異なる 2 つの実数解をもつような ( a,b, c) の組について考える.このとき, x 軸と曲線 y =f⁡( x) で囲まれる図形の面積 S を a , b ,c を用いて表せ.また, S の最大値を求めよ.
2014-10441-0103
【3】 201410 に関して,以下の問に答えよ.ただし,必要ならば 79= 40353607 および 710= 282475249 を用いてよい.
(1) 201410 の十の位の数字を求めよ.
(2) 201410 の十万の位の数字を求めよ.
(3) 201410 の上 3 桁の数字を求めよ.
2014-10441-0104
教育(イ),地域科,医(看護),応用生物学部
【4】(1) a ,b> 0 とする.このとき
a+b 2≧ a⁢b
であることを証明せよ.また,等号が成立するのは a =b の場合だけであることを示せ.
(2) a ,b ,c>0 とする.このとき
(a+ b)⁢ (b+ c)⁢ (c+ a)≧ 8⁢a⁢ b⁢c
であることを証明せよ.また,等号が成立するのはどのような場合か述べよ.
(3) α ,β , γ を三角形の 3 辺の長さとする.このとき
α⁢β ⁢γ≧ (-α +β+γ )⁢( α-β+ γ)⁢ (α+ β-γ )
であることを証明せよ.また,等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ.
(4) α ,β , γ を三角形の 3 辺の長さとする.このとき
α -α+β +γ +β α-β +γ +γ α+β -γ ≧3
2014-10441-0105
【5】 数列 { an } を
a1 = 34 , an +1= 1- 14⁢ an ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
で定める.以下の問に答えよ.
(1) a2 , a3 , a4 , a5 , a6 を求めよ.また,それより一般項 a n を推定せよ.
(2) 数学的帰納法により,(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ.
(3) n を正の整数とする.すべての実数 x に対して,不等式
an⁢ x2+ x+1≧ an+ 1
が成り立つことを示せ.
(4) n を正の整数とする.すべての実数 x に対して,不等式
x2 ⁢n+ x2⁢ n-1 +x2 ⁢n-2 +⋯ +x2 +x+1 ≧an
2014-10441-0106
教育(ロ),工,医(医)学部
【4】 行列 I ,J , O をそれぞれ I =( 10 01 ), J=( 0 -1 10 ), O=( 0 00 0 ) とする.また,実数 a , b を用いて a ⁢I+b ⁢J と表される行列全体の集合を U とおく.
行列 A , B が U に属するとき,以下の問に答えよ.
(1) A⁢B は U に属することを示せ.
(2) AB=BA であることを示せ.
(3) AB=O と仮定する.このとき A =O または B =O であることを示せ.
(4) A4 +I=O をみたす A をすべて求めよ.
2014-10441-0107
【5】 n を正の整数とし, x≧0 とする.以下の問に答えよ.
(1) rn ⁡(x ) =ex -(1+ x+1 2! ⁢ x2+ ⋯+ 1n! ⁢ xn ) とする. rn ⁡(x )≧ 0 を n に関する数学的帰納法を使って示せ.
(2) limx →∞ xn ⁢e- x=0 を示せ.
(3) t≧0 とし, f⁡( t)= ∫ 0t xn⁢ e-x ⁢dx とする. limt →∞ f⁡( t) を求めよ.