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2014 岐阜大学 前期

教育(イ),(ロ),地域科,工,医(医,看護),応用生物学部

配点率20%

易□ 並□ 難□

2014年岐阜大前期教育(イ)学部他【1】2014104410101の図

【1】  t は実数で 0 <t<2 とする.図のように, 1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD の辺 AC 上に点 P があり,辺 AD 上に点 Q がある. CP=AQ =t のとき,以下の問に答えよ.

(1) 線分 BP PQ QB の長さを,それぞれ t を用いて表せ.

(2)  t 0 <t<2 の範囲を変化するとき,三角形 BPQ 3 辺の長さの和の最小値を求めよ.

(3) 三角錐 ABPQ の体積を t を用いて表せ.

(4)  t 0 <t<2 の範囲を変化するとき,三角錐 ABPQ の体積の最大値を求めよ.



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【2】 サイコロを 3 回振り,出た目を順に a b c とする.関数 f (x )

f( x)= 3a x2- 2b x+3 c

と定める.以下の問に答えよ.

(1) 方程式 f (x )=0 x =1 を解にもつ確率を求めよ.

(2) 方程式 f (x )=0 が異なる 2 つの実数解をもつ確率を求めよ.

(3) 方程式 f (x ) が異なる 2 つの実数解をもつような ( a,b, c) の組について考える.このとき, x 軸と曲線 y =f( x) で囲まれる図形の面積 S a b c を用いて表せ.また, S の最大値を求めよ.

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【3】  201410 に関して,以下の問に答えよ.ただし,必要ならば 79= 40353607 および 710= 282475249 を用いてよい.

(1)  201410 の十の位の数字を求めよ.

(2)  201410 の十万の位の数字を求めよ.

(3)  201410 の上 3 桁の数字を求めよ.

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【4】(1)  a b> 0 とする.このとき

a+b 2 ab

であることを証明せよ.また,等号が成立するのは a =b の場合だけであることを示せ.

(2)  a b c>0 とする.このとき

(a+ b) (b+ c) (c+ a) 8a bc

であることを証明せよ.また,等号が成立するのはどのような場合か述べよ.

(3)  α β γ を三角形の 3 辺の長さとする.このとき

αβ γ (-α +β+γ )( α-β+ γ) (α+ β-γ )

であることを証明せよ.また,等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ.

(4)  α β γ を三角形の 3 辺の長さとする.このとき

α -α+β +γ +β α-β +γ +γ α+β -γ 3

であることを証明せよ.また,等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ.

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【5】 数列 { an }

a1 = 34 an +1= 1- 14 an n=1 2 3

で定める.以下の問に答えよ.

(1)  a2 a3 a4 a5 a6 を求めよ.また,それより一般項 a n を推定せよ.

(2) 数学的帰納法により,(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ.

(3)  n を正の整数とする.すべての実数 x に対して,不等式

an x2+ x+1 an+ 1

が成り立つことを示せ.

(4)  n を正の整数とする.すべての実数 x に対して,不等式

x2 n+ x2 n-1 +x2 n-2 + +x2 +x+1 an

が成り立つことを示せ.

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【4】 行列 I J O をそれぞれ I =( 10 01 ) J=( 0 -1 10 ) O=( 0 00 0 ) とする.また,実数 a b を用いて a I+b J と表される行列全体の集合を U とおく.

行列 A B U に属するとき,以下の問に答えよ.

(1)  AB U に属することを示せ.

(2)  AB=BA であることを示せ.

(3)  AB=O と仮定する.このとき A =O または B =O であることを示せ.

(4)  A4 +I=O をみたす A をすべて求めよ.

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【5】  n を正の整数とし, x0 とする.以下の問に答えよ.

(1)  rn (x ) =ex -(1+ x+1 2! x2+ + 1n! xn ) とする. rn (x ) 0 n に関する数学的帰納法を使って示せ.

(2)  limx xn e- x=0 を示せ.

(3)  t0 とし, f( t)= 0t xn e-x dx とする. limt f( t) を求めよ.

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