2014　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　$p$を正の実数として，放物線$C\text{：}{y}^2=4px$を定める．$C$の頂点を$\mathrm{O}\text{，}$焦点を$\mathrm{F}\text{，}$準線を$l\text{：}x=-p$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,2\sqrt{pa}\text{（}a>0\text{）}$と$\mathrm{B}(b,-2\sqrt{pb})\text{（}b>0\text{）}$を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l(\mathrm{A})$とし，$l(\mathrm{A})$と準線$l$との交点を$\mathrm{P}$とする．$l(\mathrm{A})$の方程式をかいて，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ．

(2)　接線$l(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき，$b$を$a\text{，}p$を用いて表せ．また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき，$b$の最小値を求めよ．

　以下(2)の最小値を実現する$C$上の$2$点を${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{B}}_0$とし，接線$l({\mathrm{A}}_0)$と準線$l$の交点を${\mathrm{P}}_0$とする．

(3)　直線${\mathrm{OA}}_0$と直線${\mathrm{P}}_0{\mathrm{B}}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ．

(4)　$▵{\mathrm{A}}_0{\mathrm{OB}}_0$の面積を$S\text{，}$線分${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{\sin x}}-{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}(0<\left|x\right|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．

(2)　$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，

$f^{″}(x)=3\sqrt{3}P\left({\displaystyle \frac{1}{\sin x}}\right)-P\left({\displaystyle \frac{1}{\cos x}}\right)$

と表されることを示せ．また，$0<x_1<x_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$f^{″}(x_1)>f^{″}(x_2)$となることを示せ．

(3)　$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．

(4)　$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

【３】(1)　$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数${}_{k+r}C_r\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-r\text{）}$の次の等式を示せ．

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-r}}{}_{k+r}C_{r+1}={}_{n+1}C_{r+1}$

以下整数$n\text{（}n\geqq 2\text{）}$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．

$P(X=k)={\displaystyle \frac{{}_{k+1}C_1}{{}_{n+1}C_2}}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

(2)　$X$の期待値${\mu }_n=E(X)$を求めよ．また，$P(X\geqq m)\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M_n}{{\mu }_n}}$を求めよ．