2014　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$r\ne 1$のとき$S_n=r+2r^2+3r^3+\cdots +n{r}^n$を求めよ．

(2)　$x>0$に対して

$f_n(x)=e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+\cdots +n{e}^{-nx}$

とおく．極限$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．だたし$\underset{t\to \infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$であることを用いてもよい．

(3)　(2)で得られた関数$f(x)$について，不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(4)　(2)で得られた関数$f(x)$について，定積分${\displaystyle {\int }_{\log 2}^{\log 3}}xf(x)dx$を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$が次の条件をみたしている．

$0<p<q\text{，}\angle \mathrm{POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

ただし$\mathrm{O}$は原点である．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$p$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$q$を$p$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．

(5)　点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$について

${(a-d)}^2+4bc=0$

が成立している．このとき行列

$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=A-{\displaystyle \frac{a+d}{2}}E$

について，以下の問いに答えよ．ただし$A\ne {\displaystyle \frac{a+d}{2}}E$とする．

(1)　行列$B^2$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して

$A^n=pA+qE$

となる実数$p\text{，}q$を$n$と$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(3)　行列$A$が次をみたすとき，$A$を求めよ．

$A^5=\left(\begin{array}{cc}11& -20\\ 5& -9\end{array}\right)$

【４】　座標空間に立方体$K$があり，原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(a,b,0)\text{，}\mathrm{B}(r,s,t)\text{，}\mathrm{C}(3,0,0)$が次の条件をみたしている．

(ⅰ)　$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$は立方体$K$の辺である．

(ⅱ)　$\mathrm{OC}$は立方体$K$の辺ではない．

(ⅲ)　$b>0\text{，}t>0$

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　立方体$K$の一辺の長さ$l$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(4)　辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,0,0)$とする．$\mathrm{PH}$の長さを$x$を用いて表せ．

(5)　立方体$K$を$x$軸を回転軸として$1$回転させて得られる回転体の体積$V$を求めよ．