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2014-10483-0201
2014 名古屋工業大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 k を正の定数とする.点 P ( a,b ) を通る 2 曲線
C1: y= x-k2 ,C 2:x =-2⁢ y2+12 ⁢y
が P において接線を共有している.
(1) k ,a , b の値を求めよ.
(2) 曲線 C1 ,C2 および x 軸で囲まれる部分を D とする. D の面積 S を求めよ.
(3) (2)の D を y 軸のまわりに 1 回転させて得られる立体の体積 V を求めよ.
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【2】 点 A ( 0,6 ), B (3 ⁢3, 3) を両端とする曲線 C が
{ x=5 ⁢sin⁡θ -sin⁡5 ⁢θ y=5⁢ cos⁡θ+ cos⁡5⁢ θ (0≦ θ≦ π3 )
によって定義されている.点 P ( x,y ) は曲線 C 上を A から B まで動く.
(1) 点 P の x 座標の値は θ に関して単調増加であることを示せ.
(2) 点 P の x 座標の値の範囲を求めよ.
(3) 端点 A , B とは異なる点 P における曲線 C の接線が直線 AB と平行になるとき,点 P の座標を求めよ.
(4) 直線 AB と曲線 C によって囲まれる部分の面積 S を求めよ.
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【3】 数列 { an } は次の条件をみたしている.
(ⅰ) an は 0 ≦an <2n をみたす整数である.
(ⅱ) bn= 3 ⁢an +22 n は整数である.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 を求めよ.
(2) 1≦b n≦3 であることを示せ.
(3) bn +2- bn が 3 の整数倍であることを示せ.
(4) 数列 { an } の一般項を求めよ.
(5) 数列 { Sn } を
Sn = ∑k= 12⁢ n ak+ 1- ak4 k
によって定義する.極限 limn→ ∞S n を求めよ.
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【4】 座標空間内に 4 点
A (- 3,1, 2) ,B ( 2,-1 ,2) ,C ( 2,1, 0) ,D (2 ,5,5 )
をとり, CA→ =a→ , CB→ =b→ とおく. 3 点 A , B ,C を通る平面上の点で D との距離が最小の点を E とする.
(1) CE→ =s⁢ a→ +t⁢b → をみたす実数 s , t および点 E の座標を求めよ.
(2) 直線 CE と AB の交点を F とするとき, CE EF および AFFB を求めよ.
(3) 直線 BE と AC の交点を G とするとき, AGGC を求めよ.
(4) G を(3)で定めた点とし,四面体 ABCD の体積を V , 四面体 GECD の体積を W とする. WV を求めよ.